15x^2+58x+48 Denklemini Çözme

$$15 x ^ { 2 } + 58 x + 48$$

Çarpanlara Ayır

$$\left(3x+8\right)\left(5x+6\right)$$

Çözüm Adımları

İfadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle ifadenin 15x^{2}+ax+bx+48 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=58 ab=15\times 48=720$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 720 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,720 2,360 3,240 4,180 5,144 6,120 8,90 9,80 10,72 12,60 15,48 16,45 18,40 20,36 24,30$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+720=721 2+360=362 3+240=243 4+180=184 5+144=149 6+120=126 8+90=98 9+80=89 10+72=82 12+60=72 15+48=63 16+45=61 18+40=58 20+36=56 24+30=54$$

Çözüm, 58 toplamını veren çifttir.

$$a=18 b=40$$

15x^{2}+58x+48 ifadesini \left(15x^{2}+18x\right)+\left(40x+48\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(15x^{2}+18x\right)+\left(40x+48\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 8 3x çarpanlarına ayırın.

$$3x\left(5x+6\right)+8\left(5x+6\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 5x+6 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(5x+6\right)\left(3x+8\right)$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

İkinci dereceden polinomsal ifadeler ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) dönüşümü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Burada x_{1} ve x_{2} ikinci dereceden ax^{2}+bx+c=0 denkleminin çözümleridir.

$$15x^{2}+58x+48=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x=\frac{-58±\sqrt{58^{2}-4\times 15\times 48}}{2\times 15}$$

58 sayısının karesi.

$$x=\frac{-58±\sqrt{3364-4\times 15\times 48}}{2\times 15}$$

-4 ile 15 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-58±\sqrt{3364-60\times 48}}{2\times 15}$$

-60 ile 48 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-58±\sqrt{3364-2880}}{2\times 15}$$

-2880 ile 3364 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-58±\sqrt{484}}{2\times 15}$$

484 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-58±22}{2\times 15}$$

2 ile 15 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-58±22}{30}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-58±22}{30} denklemini çözün. 22 ile -58 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{36}{30}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-36}{30} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{6}{5}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-58±22}{30} denklemini çözün. 22 sayısını -58 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{80}{30}$$

10 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-80}{30} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{8}{3}$$

Özgün ifadeyi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) kullanarak çarpanlarına ayırın. -\frac{6}{5} yerine x_{1}, -\frac{8}{3} yerine ise x_{2} koyun.

$$15x^{2}+58x+48=15\left(x-\left(-\frac{6}{5}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{8}{3}\right)\right)$$

p-\left(-q\right) biçimindeki tüm ifadeleri p+q biçiminde olacak şekilde sadeleştirin.

$$15x^{2}+58x+48=15\left(x+\frac{6}{5}\right)\left(x+\frac{8}{3}\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{6}{5} ile x sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$15x^{2}+58x+48=15\times \frac{5x+6}{5}\left(x+\frac{8}{3}\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{8}{3} ile x sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$15x^{2}+58x+48=15\times \frac{5x+6}{5}\times \frac{3x+8}{3}$$

Payları paylarla ve paydaları paydalarla çarparak \frac{5x+6}{5} ile \frac{3x+8}{3} sayısını çarpın. Daha sonra kesri en küçük terime sadeleştirin.

$$15x^{2}+58x+48=15\times \frac{\left(5x+6\right)\left(3x+8\right)}{5\times 3}$$

5 ile 3 sayısını çarpın.

$$15x^{2}+58x+48=15\times \frac{\left(5x+6\right)\left(3x+8\right)}{15}$$

15 ve 15 sayılarını, bu sayıların en büyük ortak çarpanı olan 15 ile sadeleştirin.

$$15x^{2}+58x+48=\left(5x+6\right)\left(3x+8\right)$$

Hesapla

$$\left(3x+8\right)\left(5x+6\right)$$