15x^2+11x+2=0 Denklemini Çözme

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{2}{5}=-0,4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 15x^{2}+ax+bx+2 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 30 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Çözüm, 11 toplamını veren çifttir.

$$a=5 b=6$$

15x^{2}+11x+2 ifadesini \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

İlk grubu 5x, ikinci grubu 2 ortak çarpan parantezine alın.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x+1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x+1=0 ve 5x+2=0 çözün.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 15, b yerine 11 ve c yerine 2 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

11 sayısının karesi.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

-4 ile 15 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

-60 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

-120 ile 121 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

1 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

2 ile 15 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-11±1}{30} denklemini çözün. 1 ile -11 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{10}{30}$$

10 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-10}{30} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-11±1}{30} denklemini çözün. 1 sayısını -11 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{12}{30}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-12}{30} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Denklem çözüldü.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

Denklemin her iki tarafından 2 çıkarın.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

2 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$15x^{2}+11x=-2$$

Her iki tarafı 15 ile bölün.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

15 ile bölme, 15 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{11}{15} sayısını 2 değerine bölerek \frac{11}{30} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{11}{30} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

\frac{11}{30} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{2}{15} ile \frac{121}{900} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{11}{30} çıkarın.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$