15x^2-8x-16 Denklemini Çözme

$$15 { x }^{ 2 } -8x-16$$

Çarpanlara Ayır

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Çözüm Adımları

İfadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle ifadenin 15x^{2}+ax+bx-16 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-8 ab=15\left(-16\right)=-240$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -240 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-240 2,-120 3,-80 4,-60 5,-48 6,-40 8,-30 10,-24 12,-20 15,-16$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-240=-239 2-120=-118 3-80=-77 4-60=-56 5-48=-43 6-40=-34 8-30=-22 10-24=-14 12-20=-8 15-16=-1$$

Çözüm, -8 toplamını veren çifttir.

$$a=-20 b=12$$

15x^{2}-8x-16 ifadesini \left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(15x^{2}-20x\right)+\left(12x-16\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 4 5x çarpanlarına ayırın.

$$5x\left(3x-4\right)+4\left(3x-4\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-4 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

İkinci dereceden polinomsal ifadeler ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) dönüşümü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Burada x_{1} ve x_{2} ikinci dereceden ax^{2}+bx+c=0 denkleminin çözümleridir.

$$15x^{2}-8x-16=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

-8 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

-4 ile 15 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\left(-16\right)}}{2\times 15}$$

-60 ile -16 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+960}}{2\times 15}$$

960 ile 64 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{1024}}{2\times 15}$$

1024 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±32}{2\times 15}$$

-8 sayısının tersi: 8.

$$x=\frac{8±32}{2\times 15}$$

2 ile 15 sayısını çarpın.

$$x=\frac{8±32}{30}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{8±32}{30} denklemini çözün. 32 ile 8 sayısını toplayın.

$$x=\frac{40}{30}$$

10 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{40}{30} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{4}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{8±32}{30} denklemini çözün. 32 sayısını 8 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{24}{30}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-24}{30} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{4}{5}$$

Özgün ifadeyi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) kullanarak çarpanlarına ayırın. \frac{4}{3} yerine x_{1}, -\frac{4}{5} yerine ise x_{2} koyun.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x-\left(-\frac{4}{5}\right)\right)$$

p-\left(-q\right) biçimindeki tüm ifadeleri p+q biçiminde olacak şekilde sadeleştirin.

$$15x^{2}-8x-16=15\left(x-\frac{4}{3}\right)\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları çıkararak x sayısını \frac{4}{3} sayısından çıkarın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\left(x+\frac{4}{5}\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{4}{5} ile x sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{3x-4}{3}\times \frac{5x+4}{5}$$

Payları paylarla ve paydaları paydalarla çarparak \frac{3x-4}{3} ile \frac{5x+4}{5} sayısını çarpın. Daha sonra kesri en küçük terime sadeleştirin.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{3\times 5}$$

3 ile 5 sayısını çarpın.

$$15x^{2}-8x-16=15\times \frac{\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)}{15}$$

15 ve 15 sayılarını, bu sayıların en büyük ortak çarpanı olan 15 ile sadeleştirin.

$$15x^{2}-8x-16=\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$

Hesapla

$$\left(3x-4\right)\left(5x+4\right)$$