15x^2+4x-4=0 Denklemini Çözme

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

x için çözün

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0,666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0,4$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 15x^{2}+ax+bx-4 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -60 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Çözüm, 4 toplamını veren çifttir.

$$a=-6 b=10$$

15x^{2}+4x-4 ifadesini \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 2 3x çarpanlarına ayırın.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 5x-2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 5x-2=0 ve 3x+2=0 çözün.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 15, b yerine 4 ve c yerine -4 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

4 sayısının karesi.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

-4 ile 15 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

-60 ile -4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

240 ile 16 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

256 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

2 ile 15 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±16}{30} denklemini çözün. 16 ile -4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{12}{30}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{12}{30} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{2}{5}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-4±16}{30} denklemini çözün. 16 sayısını -4 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{20}{30}$$

10 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-20}{30} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{2}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

Denklemin her iki tarafına 4 ekleyin.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

-4 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$15x^{2}+4x=4$$

Her iki tarafı 15 ile bölün.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

15 ile bölme, 15 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{4}{15} sayısını 2 değerine bölerek \frac{2}{15} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{2}{15} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

\frac{2}{15} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{4}{15} ile \frac{4}{225} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

Faktör x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{2}{15} çıkarın.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$