15x^2+31x+10 Denklemini Çözme

$$15 { x }^{ 2 } +31x+10$$

Çarpanlara Ayır

$$\left(3x+5\right)\left(5x+2\right)$$

Çözüm Adımları

İfadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle ifadenin 15x^{2}+ax+bx+10 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=31 ab=15\times 10=150$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 150 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,150 2,75 3,50 5,30 6,25 10,15$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+150=151 2+75=77 3+50=53 5+30=35 6+25=31 10+15=25$$

Çözüm, 31 toplamını veren çifttir.

$$a=6 b=25$$

15x^{2}+31x+10 ifadesini \left(15x^{2}+6x\right)+\left(25x+10\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(15x^{2}+6x\right)+\left(25x+10\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 3x çarpanlarına ayırın.

$$3x\left(5x+2\right)+5\left(5x+2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 5x+2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(5x+2\right)\left(3x+5\right)$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

İkinci dereceden polinomsal ifadeler ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) dönüşümü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Burada x_{1} ve x_{2} ikinci dereceden ax^{2}+bx+c=0 denkleminin çözümleridir.

$$15x^{2}+31x+10=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x=\frac{-31±\sqrt{31^{2}-4\times 15\times 10}}{2\times 15}$$

31 sayısının karesi.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-4\times 15\times 10}}{2\times 15}$$

-4 ile 15 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-60\times 10}}{2\times 15}$$

-60 ile 10 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-31±\sqrt{961-600}}{2\times 15}$$

-600 ile 961 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-31±\sqrt{361}}{2\times 15}$$

361 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-31±19}{2\times 15}$$

2 ile 15 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-31±19}{30}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-31±19}{30} denklemini çözün. 19 ile -31 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{12}{30}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-12}{30} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-31±19}{30} denklemini çözün. 19 sayısını -31 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{50}{30}$$

10 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-50}{30} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Özgün ifadeyi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) kullanarak çarpanlarına ayırın. -\frac{2}{5} yerine x_{1}, -\frac{5}{3} yerine ise x_{2} koyun.

$$15x^{2}+31x+10=15\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)$$

p-\left(-q\right) biçimindeki tüm ifadeleri p+q biçiminde olacak şekilde sadeleştirin.

$$15x^{2}+31x+10=15\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{2}{5} ile x sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$15x^{2}+31x+10=15\times \frac{5x+2}{5}\left(x+\frac{5}{3}\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{5}{3} ile x sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$15x^{2}+31x+10=15\times \frac{5x+2}{5}\times \frac{3x+5}{3}$$

Payları paylarla ve paydaları paydalarla çarparak \frac{5x+2}{5} ile \frac{3x+5}{3} sayısını çarpın. Daha sonra kesri en küçük terime sadeleştirin.

$$15x^{2}+31x+10=15\times \frac{\left(5x+2\right)\left(3x+5\right)}{5\times 3}$$

5 ile 3 sayısını çarpın.

$$15x^{2}+31x+10=15\times \frac{\left(5x+2\right)\left(3x+5\right)}{15}$$

15 ve 15 sayılarını, bu sayıların en büyük ortak çarpanı olan 15 ile sadeleştirin.

$$15x^{2}+31x+10=\left(5x+2\right)\left(3x+5\right)$$

Hesapla

$$\left(3x+5\right)\left(5x+2\right)$$