14x^2+3x-2=0 Denklemini Çözme

$$14 x ^ { 2 } + 3 x - 2 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{1}{2}=-0,5$$

$$x=\frac{2}{7}\approx 0,285714286$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 14x^{2}+ax+bx-2 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=3 ab=14\left(-2\right)=-28$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -28 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,28 -2,14 -4,7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+28=27 -2+14=12 -4+7=3$$

Çözüm, 3 toplamını veren çifttir.

$$a=-4 b=7$$

14x^{2}+3x-2 ifadesini \left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(14x^{2}-4x\right)+\left(7x-2\right)$$

14x^{2}-4x ifadesini 2x ortak çarpan parantezine alın.

$$2x\left(7x-2\right)+7x-2$$

Dağılma özelliği kullanarak 7x-2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(7x-2\right)\left(2x+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 7x-2=0 ve 2x+1=0 çözün.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 14, b yerine 3 ve c yerine -2 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

3 sayısının karesi.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\times 14\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

-4 ile 14 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-56\left(-2\right)}}{2\times 14}$$

-56 ile -2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+112}}{2\times 14}$$

112 ile 9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-3±\sqrt{121}}{2\times 14}$$

121 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-3±11}{2\times 14}$$

2 ile 14 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-3±11}{28}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-3±11}{28} denklemini çözün. 11 ile -3 sayısını toplayın.

$$x=\frac{8}{28}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{8}{28} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{2}{7}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-3±11}{28} denklemini çözün. 11 sayısını -3 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{14}{28}$$

14 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-14}{28} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$14x^{2}+3x-2=0$$

Denklemin her iki tarafına 2 ekleyin.

$$14x^{2}+3x-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

-2 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$14x^{2}+3x=-\left(-2\right)$$

-2 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$14x^{2}+3x=2$$

Her iki tarafı 14 ile bölün.

$$\frac{14x^{2}+3x}{14}=\frac{2}{14}$$

14 ile bölme, 14 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{2}{14}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{2}{14} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x=\frac{1}{7}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{3}{14} sayısını 2 değerine bölerek \frac{3}{28} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{3}{28} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{1}{7}+\left(\frac{3}{28}\right)^{2}$$

\frac{3}{28} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{1}{7}+\frac{9}{784}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{1}{7} ile \frac{9}{784} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}=\frac{121}{784}$$

Faktör x^{2}+\frac{3}{14}x+\frac{9}{784}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}=\frac{121}{784}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{28}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{784}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{3}{28}=\frac{11}{28} x+\frac{3}{28}=-\frac{11}{28}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{3}{28} çıkarın.

$$x=\frac{2}{7} x=-\frac{1}{2}$$