13x=x^2+30 Denklemini Çözme

$$13 x = x ^ { 2 } + 30$$

x için çözün

$$x=3$$

$$x=10$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$13x-x^{2}=30$$

Her iki taraftan 30 sayısını çıkarın.

$$13x-x^{2}-30=0$$

Standart biçime dönüştürmek için polinomu yeniden düzenleyin. Terimleri üslerine göre azalan düzende sıralayın.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -x^{2}+ax+bx-30 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=13 ab=-\left(-30\right)=30$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 30 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

Çözüm, 13 toplamını veren çifttir.

$$a=10 b=3$$

-x^{2}+13x-30 ifadesini \left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(3x-30\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 3 -x çarpanlarına ayırın.

$$-x\left(x-10\right)+3\left(x-10\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-10 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-10\right)\left(-x+3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-10=0 ve -x+3=0 çözün.

$$x=10 x=3$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$13x-x^{2}=30$$

Her iki taraftan 30 sayısını çıkarın.

$$13x-x^{2}-30=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-x^{2}+13x-30=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -1, b yerine 13 ve c yerine -30 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

13 sayısının karesi.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-1\right)\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+4\left(-30\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 ile -30 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-120}}{2\left(-1\right)}$$

-120 ile 169 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-13±\sqrt{49}}{2\left(-1\right)}$$

49 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-13±7}{2\left(-1\right)}$$

2 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-13±7}{-2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-13±7}{-2} denklemini çözün. 7 ile -13 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{6}{-2}$$

-6 sayısını -2 ile bölün.

$$x=3$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-13±7}{-2} denklemini çözün. 7 sayısını -13 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

-20 sayısını -2 ile bölün.

$$x=10$$

Denklem çözüldü.

$$x=3 x=10$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$13x-x^{2}=30$$

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-x^{2}+13x=30$$

Her iki tarafı -1 ile bölün.

$$\frac{-x^{2}+13x}{-1}=\frac{30}{-1}$$

-1 ile bölme, -1 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{13}{-1}x=\frac{30}{-1}$$

13 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-13x=\frac{30}{-1}$$

30 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-13x=-30$$

x teriminin katsayısı olan -13 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{13}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{13}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-30+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

-\frac{13}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-30+\frac{169}{4}$$

\frac{169}{4} ile -30 sayısını toplayın.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktör x^{2}-13x+\frac{169}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{7}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{13}{2} ekleyin.

$$x=10 x=3$$