13p^2-11p-2=0 Denklemini Çözme

$$13 p ^ { 2 } - 11 p - 2 = 0$$

p için çözün

$$p=-\frac{2}{13}\approx -0,153846154$$

$$p=1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 13p^{2}+ap+bp-2 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-11 ab=13\left(-2\right)=-26$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -26 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-26 2,-13$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-26=-25 2-13=-11$$

Çözüm, -11 toplamını veren çifttir.

$$a=-13 b=2$$

13p^{2}-11p-2 ifadesini \left(13p^{2}-13p\right)+\left(2p-2\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(13p^{2}-13p\right)+\left(2p-2\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 2 13p çarpanlarına ayırın.

$$13p\left(p-1\right)+2\left(p-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak p-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(p-1\right)\left(13p+2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için p-1=0 ve 13p+2=0 çözün.

$$p=1 p=-\frac{2}{13}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$13p^{2}-11p-2=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 13, b yerine -11 ve c yerine -2 değerini koyarak çözün.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 13\left(-2\right)}}{2\times 13}$$

-11 sayısının karesi.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 13\left(-2\right)}}{2\times 13}$$

-4 ile 13 sayısını çarpın.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-52\left(-2\right)}}{2\times 13}$$

-52 ile -2 sayısını çarpın.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+104}}{2\times 13}$$

104 ile 121 sayısını toplayın.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{225}}{2\times 13}$$

225 sayısının karekökünü alın.

$$p=\frac{-\left(-11\right)±15}{2\times 13}$$

-11 sayısının tersi: 11.

$$p=\frac{11±15}{2\times 13}$$

2 ile 13 sayısını çarpın.

$$p=\frac{11±15}{26}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak p=\frac{11±15}{26} denklemini çözün. 15 ile 11 sayısını toplayın.

$$p=\frac{26}{26}$$

26 sayısını 26 ile bölün.

$$p=1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak p=\frac{11±15}{26} denklemini çözün. 15 sayısını 11 sayısından çıkarın.

$$p=-\frac{4}{26}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-4}{26} kesrini sadeleştirin.

$$p=-\frac{2}{13}$$

Denklem çözüldü.

$$p=1 p=-\frac{2}{13}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$13p^{2}-11p-2=0$$

Denklemin her iki tarafına 2 ekleyin.

$$13p^{2}-11p-2-\left(-2\right)=-\left(-2\right)$$

-2 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$13p^{2}-11p=-\left(-2\right)$$

-2 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$13p^{2}-11p=2$$

Her iki tarafı 13 ile bölün.

$$\frac{13p^{2}-11p}{13}=\frac{2}{13}$$

13 ile bölme, 13 ile çarpma işlemini geri alır.

$$p^{2}-\frac{11}{13}p=\frac{2}{13}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{11}{13} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{11}{26} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{11}{26} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$p^{2}-\frac{11}{13}p+\left(-\frac{11}{26}\right)^{2}=\frac{2}{13}+\left(-\frac{11}{26}\right)^{2}$$

-\frac{11}{26} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$p^{2}-\frac{11}{13}p+\frac{121}{676}=\frac{2}{13}+\frac{121}{676}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{2}{13} ile \frac{121}{676} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$p^{2}-\frac{11}{13}p+\frac{121}{676}=\frac{225}{676}$$

Faktör p^{2}-\frac{11}{13}p+\frac{121}{676}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(p-\frac{11}{26}\right)^{2}=\frac{225}{676}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(p-\frac{11}{26}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{676}}$$

Sadeleştirin.

$$p-\frac{11}{26}=\frac{15}{26} p-\frac{11}{26}=-\frac{15}{26}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{11}{26} ekleyin.

$$p=1 p=-\frac{2}{13}$$