120x^2+8000x-92000=0 Denklemini Çözme

$$120 { x }^{ 2 } +8000x-92000=0$$

x için çözün

$$x = -\frac{230}{3} = -76\frac{2}{3} \approx -76,666666667$$

$$x=10$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafı 40 ile bölün.

$$3x^{2}+200x-2300=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 3x^{2}+ax+bx-2300 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=200 ab=3\left(-2300\right)=-6900$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -6900 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,6900 -2,3450 -3,2300 -4,1725 -5,1380 -6,1150 -10,690 -12,575 -15,460 -20,345 -23,300 -25,276 -30,230 -46,150 -50,138 -60,115 -69,100 -75,92$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+6900=6899 -2+3450=3448 -3+2300=2297 -4+1725=1721 -5+1380=1375 -6+1150=1144 -10+690=680 -12+575=563 -15+460=445 -20+345=325 -23+300=277 -25+276=251 -30+230=200 -46+150=104 -50+138=88 -60+115=55 -69+100=31 -75+92=17$$

Çözüm, 200 toplamını veren çifttir.

$$a=-30 b=230$$

3x^{2}+200x-2300 ifadesini \left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}-30x\right)+\left(230x-2300\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 230 3x çarpanlarına ayırın.

$$3x\left(x-10\right)+230\left(x-10\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-10 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-10\right)\left(3x+230\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-10=0 ve 3x+230=0 çözün.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 120, b yerine 8000 ve c yerine -92000 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{8000^{2}-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

8000 sayısının karesi.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-4\times 120\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

-4 ile 120 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000-480\left(-92000\right)}}{2\times 120}$$

-480 ile -92000 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{64000000+44160000}}{2\times 120}$$

44160000 ile 64000000 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-8000±\sqrt{108160000}}{2\times 120}$$

108160000 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-8000±10400}{2\times 120}$$

2 ile 120 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-8000±10400}{240}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-8000±10400}{240} denklemini çözün. 10400 ile -8000 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2400}{240}$$

2400 sayısını 240 ile bölün.

$$x=10$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-8000±10400}{240} denklemini çözün. 10400 sayısını -8000 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{18400}{240}$$

80 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-18400}{240} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{230}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$120x^{2}+8000x-92000=0$$

Denklemin her iki tarafına 92000 ekleyin.

$$120x^{2}+8000x-92000-\left(-92000\right)=-\left(-92000\right)$$

-92000 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$120x^{2}+8000x=-\left(-92000\right)$$

-92000 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$120x^{2}+8000x=92000$$

Her iki tarafı 120 ile bölün.

$$\frac{120x^{2}+8000x}{120}=\frac{92000}{120}$$

120 ile bölme, 120 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{8000}{120}x=\frac{92000}{120}$$

40 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{8000}{120} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{92000}{120}$$

40 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{92000}{120} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{2300}{3}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{200}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{100}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{100}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{2300}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

\frac{100}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{2300}{3}+\frac{10000}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{2300}{3} ile \frac{10000}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{16900}{9}$$

Faktör x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{16900}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16900}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{130}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{130}{3}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{100}{3} çıkarın.

$$x=10 x=-\frac{230}{3}$$