12x-x^2=20 Denklemini Çözme

$$12 x - x ^ { 2 } = 20$$

x için çözün

$$x=2$$

$$x=10$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 20 sayısını çıkarın.

$$12x-x^{2}-20=0$$

Standart biçime dönüştürmek için polinomu yeniden düzenleyin. Terimleri üslerine göre azalan düzende sıralayın.

$$-x^{2}+12x-20=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -x^{2}+ax+bx-20 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=12 ab=-\left(-20\right)=20$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 20 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,20 2,10 4,5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+20=21 2+10=12 4+5=9$$

Çözüm, 12 toplamını veren çifttir.

$$a=10 b=2$$

-x^{2}+12x-20 ifadesini \left(-x^{2}+10x\right)+\left(2x-20\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-x^{2}+10x\right)+\left(2x-20\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 2 -x çarpanlarına ayırın.

$$-x\left(x-10\right)+2\left(x-10\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-10 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-10\right)\left(-x+2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-10=0 ve -x+2=0 çözün.

$$x=10 x=2$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-x^{2}+12x=20$$

Denklemin her iki tarafından 20 çıkarın.

$$-x^{2}+12x-20=20-20$$

20 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$-x^{2}+12x-20=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -1, b yerine 12 ve c yerine -20 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-12±\sqrt{12^{2}-4\left(-1\right)\left(-20\right)}}{2\left(-1\right)}$$

12 sayısının karesi.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-4\left(-1\right)\left(-20\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144+4\left(-20\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 ile -20 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-12±\sqrt{144-80}}{2\left(-1\right)}$$

-80 ile 144 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-12±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

64 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-12±8}{2\left(-1\right)}$$

2 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-12±8}{-2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-12±8}{-2} denklemini çözün. 8 ile -12 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

-4 sayısını -2 ile bölün.

$$x=2$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-12±8}{-2} denklemini çözün. 8 sayısını -12 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{20}{-2}$$

-20 sayısını -2 ile bölün.

$$x=10$$

Denklem çözüldü.

$$x=2 x=10$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-x^{2}+12x=20$$

Her iki tarafı -1 ile bölün.

$$\frac{-x^{2}+12x}{-1}=\frac{20}{-1}$$

-1 ile bölme, -1 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{12}{-1}x=\frac{20}{-1}$$

12 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-12x=\frac{20}{-1}$$

20 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-12x=-20$$

x teriminin katsayısı olan -12 sayısını 2 değerine bölerek -6 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -6 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=-20+\left(-6\right)^{2}$$

-6 sayısının karesi.

$$x^{2}-12x+36=-20+36$$

36 ile -20 sayısını toplayın.

$$x^{2}-12x+36=16$$

Faktör x^{2}-12x+36. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-6\right)^{2}=16$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Sadeleştirin.

$$x-6=4 x-6=-4$$

Denklemin her iki tarafına 6 ekleyin.

$$x=10 x=2$$