12x^2-5x-3=0 Denklemini Çözme

$$12 x ^ { 2 } - 5 x - 3 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 12x^{2}+ax+bx-3 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-5 ab=12\left(-3\right)=-36$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -36 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

Çözüm, -5 toplamını veren çifttir.

$$a=-9 b=4$$

12x^{2}-5x-3 ifadesini \left(12x^{2}-9x\right)+\left(4x-3\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(4x-3\right)$$

12x^{2}-9x ifadesini 3x ortak çarpan parantezine alın.

$$3x\left(4x-3\right)+4x-3$$

Dağılma özelliği kullanarak 4x-3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 4x-3=0 ve 3x+1=0 çözün.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$12x^{2}-5x-3=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 12, b yerine -5 ve c yerine -3 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

-5 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\times 12\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

-4 ile 12 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-48\left(-3\right)}}{2\times 12}$$

-48 ile -3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\times 12}$$

144 ile 25 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\times 12}$$

169 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\times 12}$$

-5 sayısının tersi: 5.

$$x=\frac{5±13}{2\times 12}$$

2 ile 12 sayısını çarpın.

$$x=\frac{5±13}{24}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{5±13}{24} denklemini çözün. 13 ile 5 sayısını toplayın.

$$x=\frac{18}{24}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{18}{24} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{3}{4}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{5±13}{24} denklemini çözün. 13 sayısını 5 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{8}{24}$$

8 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-8}{24} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$12x^{2}-5x-3=0$$

Denklemin her iki tarafına 3 ekleyin.

$$12x^{2}-5x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$12x^{2}-5x=-\left(-3\right)$$

-3 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$12x^{2}-5x=3$$

Her iki tarafı 12 ile bölün.

$$\frac{12x^{2}-5x}{12}=\frac{3}{12}$$

12 ile bölme, 12 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{3}{12}$$

3 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{3}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x=\frac{1}{4}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{5}{12} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{5}{24} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{5}{24} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(-\frac{5}{24}\right)^{2}$$

-\frac{5}{24} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{1}{4}+\frac{25}{576}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{1}{4} ile \frac{25}{576} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}=\frac{169}{576}$$

Faktör x^{2}-\frac{5}{12}x+\frac{25}{576}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}=\frac{169}{576}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{576}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{5}{24}=\frac{13}{24} x-\frac{5}{24}=-\frac{13}{24}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{5}{24} ekleyin.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{1}{3}$$