12x^2+11x-15=0 Denklemini Çözme

$$12 x ^ { 2 } + 11 x - 15 = 0$$

x için çözün

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1,666666667$$

$$x=\frac{3}{4}=0,75$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 12x^{2}+ax+bx-15 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -180 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,180 -2,90 -3,60 -4,45 -5,36 -6,30 -9,20 -10,18 -12,15$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+180=179 -2+90=88 -3+60=57 -4+45=41 -5+36=31 -6+30=24 -9+20=11 -10+18=8 -12+15=3$$

Çözüm, 11 toplamını veren çifttir.

$$a=-9 b=20$$

12x^{2}+11x-15 ifadesini \left(12x^{2}-9x\right)+\left(20x-15\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(12x^{2}-9x\right)+\left(20x-15\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 3x çarpanlarına ayırın.

$$3x\left(4x-3\right)+5\left(4x-3\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 4x-3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(4x-3\right)\left(3x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 4x-3=0 ve 3x+5=0 çözün.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{5}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$12x^{2}+11x-15=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 12, b yerine 11 ve c yerine -15 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

11 sayısının karesi.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-4 ile 12 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-48 ile -15 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

720 ile 121 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-11±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

841 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-11±29}{2\times 12}$$

2 ile 12 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-11±29}{24}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-11±29}{24} denklemini çözün. 29 ile -11 sayısını toplayın.

$$x=\frac{18}{24}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{18}{24} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{3}{4}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-11±29}{24} denklemini çözün. 29 sayısını -11 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{40}{24}$$

8 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-40}{24} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{5}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$12x^{2}+11x-15=0$$

Denklemin her iki tarafına 15 ekleyin.

$$12x^{2}+11x-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$12x^{2}+11x=-\left(-15\right)$$

-15 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$12x^{2}+11x=15$$

Her iki tarafı 12 ile bölün.

$$\frac{12x^{2}+11x}{12}=\frac{15}{12}$$

12 ile bölme, 12 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{11}{12}x=\frac{15}{12}$$

3 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{15}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{11}{12}x=\frac{5}{4}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{11}{12} sayısını 2 değerine bölerek \frac{11}{24} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{11}{24} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{11}{12}x+\left(\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(\frac{11}{24}\right)^{2}$$

\frac{11}{24} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{11}{12}x+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{5}{4} ile \frac{121}{576} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{11}{12}x+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

Faktör x^{2}+\frac{11}{12}x+\frac{121}{576}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{11}{24}=\frac{29}{24} x+\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{11}{24} çıkarın.

$$x=\frac{3}{4} x=-\frac{5}{3}$$