12k^2+15k-27 Denklemini Çözme

$$12 k ^ { 2 } + 15 k - 27$$

Çarpanlara Ayır

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Çözüm Adımları

3 ortak çarpan parantezine alın.

$$3\left(4k^{2}+5k-9\right)$$

4k^{2}+5k-9 ifadesini dikkate alın. İfadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle ifadenin 4k^{2}+ak+bk-9 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=5 ab=4\left(-9\right)=-36$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -36 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,36 -2,18 -3,12 -4,9 -6,6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+36=35 -2+18=16 -3+12=9 -4+9=5 -6+6=0$$

Çözüm, 5 toplamını veren çifttir.

$$a=-4 b=9$$

4k^{2}+5k-9 ifadesini \left(4k^{2}-4k\right)+\left(9k-9\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(4k^{2}-4k\right)+\left(9k-9\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 9 4k çarpanlarına ayırın.

$$4k\left(k-1\right)+9\left(k-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak k-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Çarpanlarına ayrılan tüm ifadeyi yeniden yazın.

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

İkinci dereceden polinomsal ifadeler ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) dönüşümü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Burada x_{1} ve x_{2} ikinci dereceden ax^{2}+bx+c=0 denkleminin çözümleridir.

$$12k^{2}+15k-27=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$k=\frac{-15±\sqrt{15^{2}-4\times 12\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

15 sayısının karesi.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225-4\times 12\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

-4 ile 12 sayısını çarpın.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225-48\left(-27\right)}}{2\times 12}$$

-48 ile -27 sayısını çarpın.

$$k=\frac{-15±\sqrt{225+1296}}{2\times 12}$$

1296 ile 225 sayısını toplayın.

$$k=\frac{-15±\sqrt{1521}}{2\times 12}$$

1521 sayısının karekökünü alın.

$$k=\frac{-15±39}{2\times 12}$$

2 ile 12 sayısını çarpın.

$$k=\frac{-15±39}{24}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak k=\frac{-15±39}{24} denklemini çözün. 39 ile -15 sayısını toplayın.

$$k=\frac{24}{24}$$

24 sayısını 24 ile bölün.

$$k=1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak k=\frac{-15±39}{24} denklemini çözün. 39 sayısını -15 sayısından çıkarın.

$$k=-\frac{54}{24}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-54}{24} kesrini sadeleştirin.

$$k=-\frac{9}{4}$$

Özgün ifadeyi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) kullanarak çarpanlarına ayırın. 1 yerine x_{1}, -\frac{9}{4} yerine ise x_{2} koyun.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\left(k-\left(-\frac{9}{4}\right)\right)$$

p-\left(-q\right) biçimindeki tüm ifadeleri p+q biçiminde olacak şekilde sadeleştirin.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\left(k+\frac{9}{4}\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{9}{4} ile k sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$12k^{2}+15k-27=12\left(k-1\right)\times \frac{4k+9}{4}$$

12 ve 4 sayılarını, bu sayıların en büyük ortak çarpanı olan 4 ile sadeleştirin.

$$12k^{2}+15k-27=3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$

Hesapla

$$3\left(k-1\right)\left(4k+9\right)$$