12x^2+80x+100 Denklemini Çözme

$$12 { x }^{ 2 } +80x+100$$

Çarpanlara Ayır

$$4\left(x+5\right)\left(3x+5\right)$$

Çözüm Adımları

4 ortak çarpan parantezine alın.

$$4\left(3x^{2}+20x+25\right)$$

3x^{2}+20x+25 ifadesini dikkate alın. İfadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle ifadenin 3x^{2}+ax+bx+25 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=20 ab=3\times 25=75$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 75 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,75 3,25 5,15$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+75=76 3+25=28 5+15=20$$

Çözüm, 20 toplamını veren çifttir.

$$a=5 b=15$$

3x^{2}+20x+25 ifadesini \left(3x^{2}+5x\right)+\left(15x+25\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(3x^{2}+5x\right)+\left(15x+25\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 5 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(3x+5\right)+5\left(3x+5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x+5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

Çarpanlarına ayrılan tüm ifadeyi yeniden yazın.

$$4\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

İkinci dereceden polinomsal ifadeler ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) dönüşümü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Burada x_{1} ve x_{2} ikinci dereceden ax^{2}+bx+c=0 denkleminin çözümleridir.

$$12x^{2}+80x+100=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x=\frac{-80±\sqrt{80^{2}-4\times 12\times 100}}{2\times 12}$$

80 sayısının karesi.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4\times 12\times 100}}{2\times 12}$$

-4 ile 12 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-48\times 100}}{2\times 12}$$

-48 ile 100 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-80±\sqrt{6400-4800}}{2\times 12}$$

-4800 ile 6400 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-80±\sqrt{1600}}{2\times 12}$$

1600 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-80±40}{2\times 12}$$

2 ile 12 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-80±40}{24}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-80±40}{24} denklemini çözün. 40 ile -80 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{40}{24}$$

8 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-40}{24} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{5}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-80±40}{24} denklemini çözün. 40 sayısını -80 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{120}{24}$$

-120 sayısını 24 ile bölün.

$$x=-5$$

Özgün ifadeyi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) kullanarak çarpanlarına ayırın. -\frac{5}{3} yerine x_{1}, -5 yerine ise x_{2} koyun.

$$12x^{2}+80x+100=12\left(x-\left(-\frac{5}{3}\right)\right)\left(x-\left(-5\right)\right)$$

p-\left(-q\right) biçimindeki tüm ifadeleri p+q biçiminde olacak şekilde sadeleştirin.

$$12x^{2}+80x+100=12\left(x+\frac{5}{3}\right)\left(x+5\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{5}{3} ile x sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$12x^{2}+80x+100=12\times \frac{3x+5}{3}\left(x+5\right)$$

12 ve 3 sayılarını, bu sayıların en büyük ortak çarpanı olan 3 ile sadeleştirin.

$$12x^{2}+80x+100=4\left(3x+5\right)\left(x+5\right)$$

Hesapla

$$4\left(x+5\right)\left(3x+5\right)$$