12x^2+32x+5=0 Denklemini Çözme

$$12 { x }^{ 2 } +32x+5=0$$

x için çözün

$$x = -\frac{5}{2} = -2\frac{1}{2} = -2.5$$

$$x=-\frac{1}{6}\approx -0.166666667$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 12x^{2}+ax+bx+5 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=32 ab=12\times 5=60$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 60 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,60 2,30 3,20 4,15 5,12 6,10$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+60=61 2+30=32 3+20=23 4+15=19 5+12=17 6+10=16$$

Çözüm, 32 toplamını veren çifttir.

$$a=2 b=30$$

12x^{2}+32x+5 ifadesini \left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(12x^{2}+2x\right)+\left(30x+5\right)$$

İlk grubu 2x, ikinci grubu 5 ortak çarpan parantezine alın.

$$2x\left(6x+1\right)+5\left(6x+1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 6x+1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(6x+1\right)\left(2x+5\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 6x+1=0 ve 2x+5=0 çözün.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 12, b yerine 32 ve c yerine 5 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-32±\sqrt{32^{2}-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

32 sayısının karesi.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-4\times 12\times 5}}{2\times 12}$$

-4 ile 12 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-48\times 5}}{2\times 12}$$

-48 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-32±\sqrt{1024-240}}{2\times 12}$$

-240 ile 1024 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-32±\sqrt{784}}{2\times 12}$$

784 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-32±28}{2\times 12}$$

2 ile 12 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-32±28}{24}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-32±28}{24} denklemini çözün. 28 ile -32 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{4}{24}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-4}{24} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{6}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-32±28}{24} denklemini çözün. 28 sayısını -32 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{60}{24}$$

12 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-60}{24} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{5}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$12x^{2}+32x+5=0$$

Denklemin her iki tarafından 5 çıkarın.

$$12x^{2}+32x+5-5=-5$$

5 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$12x^{2}+32x=-5$$

Her iki tarafı 12 ile bölün.

$$\frac{12x^{2}+32x}{12}=-\frac{5}{12}$$

12 ile bölme, 12 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{32}{12}x=-\frac{5}{12}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{32}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{5}{12}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{8}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{4}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{4}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=-\frac{5}{12}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

\frac{4}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=-\frac{5}{12}+\frac{16}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{5}{12} ile \frac{16}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{49}{36}$$

x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{49}{36}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{36}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{7}{6} x+\frac{4}{3}=-\frac{7}{6}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{4}{3} çıkarın.

$$x=-\frac{1}{6} x=-\frac{5}{2}$$