12x^2+13x+3=0 Denklemini Çözme

$$12 { x }^{ 2 } +13x+3 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{3}{4}=-0,75$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 12x^{2}+ax+bx+3 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=13 ab=12\times 3=36$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 36 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,36 2,18 3,12 4,9 6,6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+36=37 2+18=20 3+12=15 4+9=13 6+6=12$$

Çözüm, 13 toplamını veren çifttir.

$$a=4 b=9$$

12x^{2}+13x+3 ifadesini \left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(12x^{2}+4x\right)+\left(9x+3\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 3 4x çarpanlarına ayırın.

$$4x\left(3x+1\right)+3\left(3x+1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x+1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x+1\right)\left(4x+3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x+1=0 ve 4x+3=0 çözün.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 12, b yerine 13 ve c yerine 3 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

13 sayısının karesi.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\times 12\times 3}}{2\times 12}$$

-4 ile 12 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-48\times 3}}{2\times 12}$$

-48 ile 3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-144}}{2\times 12}$$

-144 ile 169 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-13±\sqrt{25}}{2\times 12}$$

25 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-13±5}{2\times 12}$$

2 ile 12 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-13±5}{24}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-13±5}{24} denklemini çözün. 5 ile -13 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{8}{24}$$

8 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-8}{24} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-13±5}{24} denklemini çözün. 5 sayısını -13 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{18}{24}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-18}{24} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{3}{4}$$

Denklem çözüldü.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$12x^{2}+13x+3=0$$

Denklemin her iki tarafından 3 çıkarın.

$$12x^{2}+13x+3-3=-3$$

3 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$12x^{2}+13x=-3$$

Her iki tarafı 12 ile bölün.

$$\frac{12x^{2}+13x}{12}=-\frac{3}{12}$$

12 ile bölme, 12 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{3}{12}$$

3 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-3}{12} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x=-\frac{1}{4}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{13}{12} sayısını 2 değerine bölerek \frac{13}{24} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{13}{24} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}=-\frac{1}{4}+\left(\frac{13}{24}\right)^{2}$$

\frac{13}{24} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=-\frac{1}{4}+\frac{169}{576}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{1}{4} ile \frac{169}{576} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}=\frac{25}{576}$$

Faktör x^{2}+\frac{13}{12}x+\frac{169}{576}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}=\frac{25}{576}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{13}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{576}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{13}{24}=\frac{5}{24} x+\frac{13}{24}=-\frac{5}{24}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{13}{24} çıkarın.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{3}{4}$$