12t^2+17t=40 Denklemini Çözme

$$12 { t }^{ 2 } +17t = 40$$

t için çözün

$$t = -\frac{8}{3} = -2\frac{2}{3} \approx -2,666666667$$

$$t = \frac{5}{4} = 1\frac{1}{4} = 1,25$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 40 sayısını çıkarın.

$$12t^{2}+17t-40=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 12t^{2}+at+bt-40 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=17 ab=12\left(-40\right)=-480$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -480 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,480 -2,240 -3,160 -4,120 -5,96 -6,80 -8,60 -10,48 -12,40 -15,32 -16,30 -20,24$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+480=479 -2+240=238 -3+160=157 -4+120=116 -5+96=91 -6+80=74 -8+60=52 -10+48=38 -12+40=28 -15+32=17 -16+30=14 -20+24=4$$

Çözüm, 17 toplamını veren çifttir.

$$a=-15 b=32$$

12t^{2}+17t-40 ifadesini \left(12t^{2}-15t\right)+\left(32t-40\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(12t^{2}-15t\right)+\left(32t-40\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 8 3t çarpanlarına ayırın.

$$3t\left(4t-5\right)+8\left(4t-5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 4t-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(4t-5\right)\left(3t+8\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 4t-5=0 ve 3t+8=0 çözün.

$$t=\frac{5}{4} t=-\frac{8}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$12t^{2}+17t=40$$

Denklemin her iki tarafından 40 çıkarın.

$$12t^{2}+17t-40=40-40$$

40 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$12t^{2}+17t-40=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 12, b yerine 17 ve c yerine -40 değerini koyarak çözün.

$$t=\frac{-17±\sqrt{17^{2}-4\times 12\left(-40\right)}}{2\times 12}$$

17 sayısının karesi.

$$t=\frac{-17±\sqrt{289-4\times 12\left(-40\right)}}{2\times 12}$$

-4 ile 12 sayısını çarpın.

$$t=\frac{-17±\sqrt{289-48\left(-40\right)}}{2\times 12}$$

-48 ile -40 sayısını çarpın.

$$t=\frac{-17±\sqrt{289+1920}}{2\times 12}$$

1920 ile 289 sayısını toplayın.

$$t=\frac{-17±\sqrt{2209}}{2\times 12}$$

2209 sayısının karekökünü alın.

$$t=\frac{-17±47}{2\times 12}$$

2 ile 12 sayısını çarpın.

$$t=\frac{-17±47}{24}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak t=\frac{-17±47}{24} denklemini çözün. 47 ile -17 sayısını toplayın.

$$t=\frac{30}{24}$$

6 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{30}{24} kesrini sadeleştirin.

$$t=\frac{5}{4}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak t=\frac{-17±47}{24} denklemini çözün. 47 sayısını -17 sayısından çıkarın.

$$t=-\frac{64}{24}$$

8 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-64}{24} kesrini sadeleştirin.

$$t=-\frac{8}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$t=\frac{5}{4} t=-\frac{8}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$12t^{2}+17t=40$$

Her iki tarafı 12 ile bölün.

$$\frac{12t^{2}+17t}{12}=\frac{40}{12}$$

12 ile bölme, 12 ile çarpma işlemini geri alır.

$$t^{2}+\frac{17}{12}t=\frac{40}{12}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{40}{12} kesrini sadeleştirin.

$$t^{2}+\frac{17}{12}t=\frac{10}{3}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{17}{12} sayısını 2 değerine bölerek \frac{17}{24} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{17}{24} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$t^{2}+\frac{17}{12}t+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{10}{3}+\left(\frac{17}{24}\right)^{2}$$

\frac{17}{24} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$t^{2}+\frac{17}{12}t+\frac{289}{576}=\frac{10}{3}+\frac{289}{576}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{10}{3} ile \frac{289}{576} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$t^{2}+\frac{17}{12}t+\frac{289}{576}=\frac{2209}{576}$$

Faktör t^{2}+\frac{17}{12}t+\frac{289}{576}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(t+\frac{17}{24}\right)^{2}=\frac{2209}{576}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(t+\frac{17}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2209}{576}}$$

Sadeleştirin.

$$t+\frac{17}{24}=\frac{47}{24} t+\frac{17}{24}=-\frac{47}{24}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{17}{24} çıkarın.

$$t=\frac{5}{4} t=-\frac{8}{3}$$