11=1+20x-49x^2 Denklemini Çözme

$$11=1+20x-49 { x }^{ 2 }$$

x için çözün (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}\approx 0,204081633-0,403028932i$$

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}\approx 0,204081633+0,403028932i$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Tüm değişken terimler sol tarafta kalacak şekilde yer değiştirin.

$$1+20x-49x^{2}=11$$

Her iki taraftan 11 sayısını çıkarın.

$$1+20x-49x^{2}-11=0$$

1 sayısından 11 sayısını çıkarıp -10 sonucunu bulun.

$$-10+20x-49x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-49x^{2}+20x-10=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -49, b yerine 20 ve c yerine -10 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

20 sayısının karesi.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-49\right)\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

-4 ile -49 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+196\left(-10\right)}}{2\left(-49\right)}$$

196 ile -10 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-1960}}{2\left(-49\right)}$$

-1960 ile 400 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-1560}}{2\left(-49\right)}$$

-1560 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{2\left(-49\right)}$$

2 ile -49 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98} denklemini çözün. 2i\sqrt{390} ile -20 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-20+2\sqrt{390}i}{-98}$$

-20+2i\sqrt{390} sayısını -98 ile bölün.

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-20±2\sqrt{390}i}{-98} denklemini çözün. 2i\sqrt{390} sayısını -20 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-2\sqrt{390}i-20}{-98}$$

-20-2i\sqrt{390} sayısını -98 ile bölün.

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49} x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Tüm değişken terimler sol tarafta kalacak şekilde yer değiştirin.

$$1+20x-49x^{2}=11$$

Her iki taraftan 1 sayısını çıkarın.

$$20x-49x^{2}=11-1$$

11 sayısından 1 sayısını çıkarıp 10 sonucunu bulun.

$$20x-49x^{2}=10$$

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-49x^{2}+20x=10$$

Her iki tarafı -49 ile bölün.

$$\frac{-49x^{2}+20x}{-49}=\frac{10}{-49}$$

-49 ile bölme, -49 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{20}{-49}x=\frac{10}{-49}$$

20 sayısını -49 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x=\frac{10}{-49}$$

10 sayısını -49 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x=-\frac{10}{49}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{20}{49} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{10}{49} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{10}{49} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}=-\frac{10}{49}+\left(-\frac{10}{49}\right)^{2}$$

-\frac{10}{49} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=-\frac{10}{49}+\frac{100}{2401}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{10}{49} ile \frac{100}{2401} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}=-\frac{390}{2401}$$

Faktör x^{2}-\frac{20}{49}x+\frac{100}{2401}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{10}{49}\right)^{2}=-\frac{390}{2401}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{10}{49}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{390}{2401}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{10}{49}=\frac{\sqrt{390}i}{49} x-\frac{10}{49}=-\frac{\sqrt{390}i}{49}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{10}{49} ekleyin.

$$x=\frac{10+\sqrt{390}i}{49} x=\frac{-\sqrt{390}i+10}{49}$$