11y=3y^2-4 Denklemini Çözme

$$11 y = 3 y ^ { 2 } - 4$$

y için çözün

$$y=4$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 3y^{2} sayısını çıkarın.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Her iki tarafa 4 ekleyin.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

Standart biçime dönüştürmek için polinomu yeniden düzenleyin. Terimleri üslerine göre azalan düzende sıralayın.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -3y^{2}+ay+by+4 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=11 ab=-3\times 4=-12$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -12 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,12 -2,6 -3,4$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+12=11 -2+6=4 -3+4=1$$

Çözüm, 11 toplamını veren çifttir.

$$a=12 b=-1$$

-3y^{2}+11y+4 ifadesini \left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-3y^{2}+12y\right)+\left(-y+4\right)$$

-3y^{2}+12y ifadesini 3y ortak çarpan parantezine alın.

$$3y\left(-y+4\right)-y+4$$

Dağılma özelliği kullanarak -y+4 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(-y+4\right)\left(3y+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için -y+4=0 ve 3y+1=0 çözün.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Her iki taraftan 3y^{2} sayısını çıkarın.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Her iki tarafa 4 ekleyin.

$$11y-3y^{2}+4=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-3y^{2}+11y+4=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -3, b yerine 11 ve c yerine 4 değerini koyarak çözün.

$$y=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

11 sayısının karesi.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-3\right)\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

-4 ile -3 sayısını çarpın.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+12\times 4}}{2\left(-3\right)}$$

12 ile 4 sayısını çarpın.

$$y=\frac{-11±\sqrt{121+48}}{2\left(-3\right)}$$

48 ile 121 sayısını toplayın.

$$y=\frac{-11±\sqrt{169}}{2\left(-3\right)}$$

169 sayısının karekökünü alın.

$$y=\frac{-11±13}{2\left(-3\right)}$$

2 ile -3 sayısını çarpın.

$$y=\frac{-11±13}{-6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak y=\frac{-11±13}{-6} denklemini çözün. 13 ile -11 sayısını toplayın.

$$y=\frac{2}{-6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{2}{-6} kesrini sadeleştirin.

$$y=-\frac{1}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak y=\frac{-11±13}{-6} denklemini çözün. 13 sayısını -11 sayısından çıkarın.

$$y=-\frac{24}{-6}$$

-24 sayısını -6 ile bölün.

$$y=4$$

Denklem çözüldü.

$$y=-\frac{1}{3} y=4$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Her iki taraftan 3y^{2} sayısını çıkarın.

$$11y-3y^{2}=-4$$

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-3y^{2}+11y=-4$$

Her iki tarafı -3 ile bölün.

$$\frac{-3y^{2}+11y}{-3}=-\frac{4}{-3}$$

-3 ile bölme, -3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$y^{2}+\frac{11}{-3}y=-\frac{4}{-3}$$

11 sayısını -3 ile bölün.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=-\frac{4}{-3}$$

-4 sayısını -3 ile bölün.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y=\frac{4}{3}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{11}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{11}{6} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{11}{6} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{4}{3}+\left(-\frac{11}{6}\right)^{2}$$

-\frac{11}{6} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{4}{3}+\frac{121}{36}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{4}{3} ile \frac{121}{36} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}=\frac{169}{36}$$

Faktör y^{2}-\frac{11}{3}y+\frac{121}{36}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}=\frac{169}{36}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(y-\frac{11}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{36}}$$

Sadeleştirin.

$$y-\frac{11}{6}=\frac{13}{6} y-\frac{11}{6}=-\frac{13}{6}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{11}{6} ekleyin.

$$y=4 y=-\frac{1}{3}$$