10k^2+9k-1=0 Denklemini Çözme

$$10 k ^ { 2 } + 9 k - 1 = 0$$

k için çözün

$$k=-1$$

$$k=\frac{1}{10}=0,1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 10k^{2}+ak+bk-1 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=9 ab=10\left(-1\right)=-10$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -10 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,10 -2,5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+10=9 -2+5=3$$

Çözüm, 9 toplamını veren çifttir.

$$a=-1 b=10$$

10k^{2}+9k-1 ifadesini \left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(10k^{2}-k\right)+\left(10k-1\right)$$

10k^{2}-k ifadesini k ortak çarpan parantezine alın.

$$k\left(10k-1\right)+10k-1$$

Dağılma özelliği kullanarak 10k-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(10k-1\right)\left(k+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 10k-1=0 ve k+1=0 çözün.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 10, b yerine 9 ve c yerine -1 değerini koyarak çözün.

$$k=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

9 sayısının karesi.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-4\times 10\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

-4 ile 10 sayısını çarpın.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81-40\left(-1\right)}}{2\times 10}$$

-40 ile -1 sayısını çarpın.

$$k=\frac{-9±\sqrt{81+40}}{2\times 10}$$

40 ile 81 sayısını toplayın.

$$k=\frac{-9±\sqrt{121}}{2\times 10}$$

121 sayısının karekökünü alın.

$$k=\frac{-9±11}{2\times 10}$$

2 ile 10 sayısını çarpın.

$$k=\frac{-9±11}{20}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak k=\frac{-9±11}{20} denklemini çözün. 11 ile -9 sayısını toplayın.

$$k=\frac{2}{20}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{2}{20} kesrini sadeleştirin.

$$k=\frac{1}{10}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak k=\frac{-9±11}{20} denklemini çözün. 11 sayısını -9 sayısından çıkarın.

$$k=-\frac{20}{20}$$

-20 sayısını 20 ile bölün.

$$k=-1$$

Denklem çözüldü.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$10k^{2}+9k-1=0$$

Denklemin her iki tarafına 1 ekleyin.

$$10k^{2}+9k-1-\left(-1\right)=-\left(-1\right)$$

-1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$10k^{2}+9k=-\left(-1\right)$$

-1 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$10k^{2}+9k=1$$

Her iki tarafı 10 ile bölün.

$$\frac{10k^{2}+9k}{10}=\frac{1}{10}$$

10 ile bölme, 10 ile çarpma işlemini geri alır.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k=\frac{1}{10}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{9}{10} sayısını 2 değerine bölerek \frac{9}{20} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{9}{20} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

\frac{9}{20} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{1}{10} ile \frac{81}{400} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Faktör k^{2}+\frac{9}{10}k+\frac{81}{400}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(k+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Sadeleştirin.

$$k+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} k+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{9}{20} çıkarın.

$$k=\frac{1}{10} k=-1$$