10x^2-7x-3=0 Denklemini Çözme

$$10 { x }^{ 2 } -7x-3 = 0$$

x için çözün

$$x=-\frac{3}{10}=-0,3$$

$$x=1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 10x^{2}+ax+bx-3 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-7 ab=10\left(-3\right)=-30$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -30 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-30 2,-15 3,-10 5,-6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-30=-29 2-15=-13 3-10=-7 5-6=-1$$

Çözüm, -7 toplamını veren çifttir.

$$a=-10 b=3$$

10x^{2}-7x-3 ifadesini \left(10x^{2}-10x\right)+\left(3x-3\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(10x^{2}-10x\right)+\left(3x-3\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 3 10x çarpanlarına ayırın.

$$10x\left(x-1\right)+3\left(x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-1\right)\left(10x+3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-1=0 ve 10x+3=0 çözün.

$$x=1 x=-\frac{3}{10}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$10x^{2}-7x-3=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 10, b yerine -7 ve c yerine -3 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 10\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

-7 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 10\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

-4 ile 10 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-40\left(-3\right)}}{2\times 10}$$

-40 ile -3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+120}}{2\times 10}$$

120 ile 49 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{169}}{2\times 10}$$

169 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±13}{2\times 10}$$

-7 sayısının tersi: 7.

$$x=\frac{7±13}{2\times 10}$$

2 ile 10 sayısını çarpın.

$$x=\frac{7±13}{20}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{7±13}{20} denklemini çözün. 13 ile 7 sayısını toplayın.

$$x=\frac{20}{20}$$

20 sayısını 20 ile bölün.

$$x=1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{7±13}{20} denklemini çözün. 13 sayısını 7 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{6}{20}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-6}{20} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{3}{10}$$

Denklem çözüldü.

$$x=1 x=-\frac{3}{10}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$10x^{2}-7x-3=0$$

Denklemin her iki tarafına 3 ekleyin.

$$10x^{2}-7x-3-\left(-3\right)=-\left(-3\right)$$

-3 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$10x^{2}-7x=-\left(-3\right)$$

-3 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$10x^{2}-7x=3$$

Her iki tarafı 10 ile bölün.

$$\frac{10x^{2}-7x}{10}=\frac{3}{10}$$

10 ile bölme, 10 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{7}{10}x=\frac{3}{10}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{7}{10} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{7}{20} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{7}{20} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{7}{10}x+\left(-\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{3}{10}+\left(-\frac{7}{20}\right)^{2}$$

-\frac{7}{20} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{3}{10}+\frac{49}{400}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{3}{10} ile \frac{49}{400} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}=\frac{169}{400}$$

Faktör x^{2}-\frac{7}{10}x+\frac{49}{400}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{20}\right)^{2}=\frac{169}{400}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{400}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{7}{20}=\frac{13}{20} x-\frac{7}{20}=-\frac{13}{20}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{7}{20} ekleyin.

$$x=1 x=-\frac{3}{10}$$