10x^2+10x+8=3x^2-10x+11 Denklemini Çözme

$$10 { x }^{ 2 } +10x+8=3 { x }^{ 2 } -10x+11$$

x için çözün

$$x=-3$$

$$x=\frac{1}{7}\approx 0,142857143$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 3x^{2} sayısını çıkarın.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

10x^{2} ve -3x^{2} terimlerini birleştirerek 7x^{2} sonucunu elde edin.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Her iki tarafa 10x ekleyin.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

10x ve 10x terimlerini birleştirerek 20x sonucunu elde edin.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Her iki taraftan 11 sayısını çıkarın.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

8 sayısından 11 sayısını çıkarıp -3 sonucunu bulun.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 7x^{2}+ax+bx-3 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=20 ab=7\left(-3\right)=-21$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -21 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,21 -3,7$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+21=20 -3+7=4$$

Çözüm, 20 toplamını veren çifttir.

$$a=-1 b=21$$

7x^{2}+20x-3 ifadesini \left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(7x^{2}-x\right)+\left(21x-3\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 3 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(7x-1\right)+3\left(7x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 7x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(7x-1\right)\left(x+3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 7x-1=0 ve x+3=0 çözün.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Her iki taraftan 3x^{2} sayısını çıkarın.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

10x^{2} ve -3x^{2} terimlerini birleştirerek 7x^{2} sonucunu elde edin.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Her iki tarafa 10x ekleyin.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

10x ve 10x terimlerini birleştirerek 20x sonucunu elde edin.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Her iki taraftan 11 sayısını çıkarın.

$$7x^{2}+20x+8-11=0$$

8 sayısından 11 sayısını çıkarıp -3 sonucunu bulun.

$$7x^{2}+20x-3=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 7, b yerine 20 ve c yerine -3 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

20 sayısının karesi.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\times 7\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

-4 ile 7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-28\left(-3\right)}}{2\times 7}$$

-28 ile -3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+84}}{2\times 7}$$

84 ile 400 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-20±\sqrt{484}}{2\times 7}$$

484 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-20±22}{2\times 7}$$

2 ile 7 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-20±22}{14}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-20±22}{14} denklemini çözün. 22 ile -20 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2}{14}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{2}{14} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{7}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-20±22}{14} denklemini çözün. 22 sayısını -20 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{42}{14}$$

-42 sayısını 14 ile bölün.

$$x=-3$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Her iki taraftan 3x^{2} sayısını çıkarın.

$$10x^{2}+10x+8-3x^{2}=-10x+11$$

10x^{2} ve -3x^{2} terimlerini birleştirerek 7x^{2} sonucunu elde edin.

$$7x^{2}+10x+8=-10x+11$$

Her iki tarafa 10x ekleyin.

$$7x^{2}+10x+8+10x=11$$

10x ve 10x terimlerini birleştirerek 20x sonucunu elde edin.

$$7x^{2}+20x+8=11$$

Her iki taraftan 8 sayısını çıkarın.

$$7x^{2}+20x=11-8$$

11 sayısından 8 sayısını çıkarıp 3 sonucunu bulun.

$$7x^{2}+20x=3$$

Her iki tarafı 7 ile bölün.

$$\frac{7x^{2}+20x}{7}=\frac{3}{7}$$

7 ile bölme, 7 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x=\frac{3}{7}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{20}{7} sayısını 2 değerine bölerek \frac{10}{7} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{10}{7} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{3}{7}+\left(\frac{10}{7}\right)^{2}$$

\frac{10}{7} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{3}{7}+\frac{100}{49}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{3}{7} ile \frac{100}{49} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}=\frac{121}{49}$$

Faktör x^{2}+\frac{20}{7}x+\frac{100}{49}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}=\frac{121}{49}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{10}{7}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{49}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{10}{7}=\frac{11}{7} x+\frac{10}{7}=-\frac{11}{7}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{10}{7} çıkarın.

$$x=\frac{1}{7} x=-3$$