0=5n^2+1205n-90300 Denklemini Çözme

$$0 = 5 n ^ { 2 } + 1205 n - 90300$$

n için çözün

$$n=-301$$

$$n=60$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Tüm değişken terimler sol tarafta kalacak şekilde yer değiştirin.

$$5n^{2}+1205n-90300=0$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$n^{2}+241n-18060=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın n^{2}+an+bn-18060 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=241 ab=1\left(-18060\right)=-18060$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -18060 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,18060 -2,9030 -3,6020 -4,4515 -5,3612 -6,3010 -7,2580 -10,1806 -12,1505 -14,1290 -15,1204 -20,903 -21,860 -28,645 -30,602 -35,516 -42,430 -43,420 -60,301 -70,258 -84,215 -86,210 -105,172 -129,140$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+18060=18059 -2+9030=9028 -3+6020=6017 -4+4515=4511 -5+3612=3607 -6+3010=3004 -7+2580=2573 -10+1806=1796 -12+1505=1493 -14+1290=1276 -15+1204=1189 -20+903=883 -21+860=839 -28+645=617 -30+602=572 -35+516=481 -42+430=388 -43+420=377 -60+301=241 -70+258=188 -84+215=131 -86+210=124 -105+172=67 -129+140=11$$

Çözüm, 241 toplamını veren çifttir.

$$a=-60 b=301$$

n^{2}+241n-18060 ifadesini \left(n^{2}-60n\right)+\left(301n-18060\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(n^{2}-60n\right)+\left(301n-18060\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 301 n çarpanlarına ayırın.

$$n\left(n-60\right)+301\left(n-60\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak n-60 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(n-60\right)\left(n+301\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için n-60=0 ve n+301=0 çözün.

$$n=60 n=-301$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Tüm değişken terimler sol tarafta kalacak şekilde yer değiştirin.

$$5n^{2}+1205n-90300=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 5, b yerine 1205 ve c yerine -90300 değerini koyarak çözün.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1205^{2}-4\times 5\left(-90300\right)}}{2\times 5}$$

1205 sayısının karesi.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1452025-4\times 5\left(-90300\right)}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1452025-20\left(-90300\right)}}{2\times 5}$$

-20 ile -90300 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{1452025+1806000}}{2\times 5}$$

1806000 ile 1452025 sayısını toplayın.

$$n=\frac{-1205±\sqrt{3258025}}{2\times 5}$$

3258025 sayısının karekökünü alın.

$$n=\frac{-1205±1805}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-1205±1805}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak n=\frac{-1205±1805}{10} denklemini çözün. 1805 ile -1205 sayısını toplayın.

$$n=\frac{600}{10}$$

600 sayısını 10 ile bölün.

$$n=60$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak n=\frac{-1205±1805}{10} denklemini çözün. 1805 sayısını -1205 sayısından çıkarın.

$$n=-\frac{3010}{10}$$

-3010 sayısını 10 ile bölün.

$$n=-301$$

Denklem çözüldü.

$$n=60 n=-301$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Tüm değişken terimler sol tarafta kalacak şekilde yer değiştirin.

$$5n^{2}+1205n-90300=0$$

Her iki tarafa 90300 ekleyin. Bir sayı sıfırla toplanırsa sonuç o sayıya eşit olur.

$$5n^{2}+1205n=90300$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5n^{2}+1205n}{5}=\frac{90300}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$n^{2}+\frac{1205}{5}n=\frac{90300}{5}$$

1205 sayısını 5 ile bölün.

$$n^{2}+241n=\frac{90300}{5}$$

90300 sayısını 5 ile bölün.

$$n^{2}+241n=18060$$

x teriminin katsayısı olan 241 sayısını 2 değerine bölerek \frac{241}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{241}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$n^{2}+241n+\left(\frac{241}{2}\right)^{2}=18060+\left(\frac{241}{2}\right)^{2}$$

\frac{241}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$n^{2}+241n+\frac{58081}{4}=18060+\frac{58081}{4}$$

\frac{58081}{4} ile 18060 sayısını toplayın.

$$n^{2}+241n+\frac{58081}{4}=\frac{130321}{4}$$

Faktör n^{2}+241n+\frac{58081}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n+\frac{241}{2}\right)^{2}=\frac{130321}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(n+\frac{241}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{130321}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$n+\frac{241}{2}=\frac{361}{2} n+\frac{241}{2}=-\frac{361}{2}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{241}{2} çıkarın.

$$n=60 n=-301$$