-4x^2+20x-47=0 Denklemini Çözme

$$-4 { x }^{ 2 } +20x-47=0$$

x için çözün (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}\approx 2,5-2,34520788i$$

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}\approx 2,5+2,34520788i$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -4, b yerine 20 ve c yerine -47 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-20±\sqrt{20^{2}-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

20 sayısının karesi.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-4\left(-4\right)\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-4 ile -4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400+16\left(-47\right)}}{2\left(-4\right)}$$

16 ile -47 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-20±\sqrt{400-752}}{2\left(-4\right)}$$

-752 ile 400 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-20±\sqrt{-352}}{2\left(-4\right)}$$

-352 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{2\left(-4\right)}$$

2 ile -4 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} denklemini çözün. 4i\sqrt{22} ile -20 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-20+4\sqrt{22}i}{-8}$$

-20+4i\sqrt{22} sayısını -8 ile bölün.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-20±4\sqrt{22}i}{-8} denklemini çözün. 4i\sqrt{22} sayısını -20 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-4\sqrt{22}i-20}{-8}$$

-20-4i\sqrt{22} sayısını -8 ile bölün.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2} x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-4x^{2}+20x-47=0$$

Denklemin her iki tarafına 47 ekleyin.

$$-4x^{2}+20x-47-\left(-47\right)=-\left(-47\right)$$

-47 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$-4x^{2}+20x=-\left(-47\right)$$

-47 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$-4x^{2}+20x=47$$

Her iki tarafı -4 ile bölün.

$$\frac{-4x^{2}+20x}{-4}=\frac{47}{-4}$$

-4 ile bölme, -4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{20}{-4}x=\frac{47}{-4}$$

20 sayısını -4 ile bölün.

$$x^{2}-5x=\frac{47}{-4}$$

47 sayısını -4 ile bölün.

$$x^{2}-5x=-\frac{47}{4}$$

x teriminin katsayısı olan -5 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{5}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{5}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{47}{4}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

-\frac{5}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{-47+25}{4}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{47}{4} ile \frac{25}{4} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=-\frac{11}{2}$$

Faktör x^{2}-5x+\frac{25}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=-\frac{11}{2}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{11}{2}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{22}i}{2} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{22}i}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{5}{2} ekleyin.

$$x=\frac{5+\sqrt{22}i}{2} x=\frac{-\sqrt{22}i+5}{2}$$