-4a^2-3a+1=0 Denklemini Çözme

$$-4 { a }^{ 2 } -3a+1 = 0$$

a için çözün

$$a=\frac{1}{4}=0,25$$

$$a=-1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -4a^{2}+aa+ba+1 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-3 ab=-4=-4$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -4 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-4 2,-2$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-4=-3 2-2=0$$

Çözüm, -3 toplamını veren çifttir.

$$a=1 b=-4$$

-4a^{2}-3a+1 ifadesini \left(-4a^{2}+a\right)+\left(-4a+1\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-4a^{2}+a\right)+\left(-4a+1\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -1 -a çarpanlarına ayırın.

$$-a\left(4a-1\right)-\left(4a-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 4a-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(4a-1\right)\left(-a-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 4a-1=0 ve -a-1=0 çözün.

$$a=\frac{1}{4} a=-1$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-4a^{2}-3a+1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -4, b yerine -3 ve c yerine 1 değerini koyarak çözün.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-3 sayısının karesi.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-4\right)}}{2\left(-4\right)}$$

-4 ile -4 sayısını çarpın.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+16}}{2\left(-4\right)}$$

16 ile 9 sayısını toplayın.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{25}}{2\left(-4\right)}$$

25 sayısının karekökünü alın.

$$a=\frac{-\left(-3\right)±5}{2\left(-4\right)}$$

-3 sayısının tersi: 3.

$$a=\frac{3±5}{2\left(-4\right)}$$

2 ile -4 sayısını çarpın.

$$a=\frac{3±5}{-8}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak a=\frac{3±5}{-8} denklemini çözün. 5 ile 3 sayısını toplayın.

$$a=\frac{8}{-8}$$

8 sayısını -8 ile bölün.

$$a=-1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak a=\frac{3±5}{-8} denklemini çözün. 5 sayısını 3 sayısından çıkarın.

$$a=-\frac{2}{-8}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-2}{-8} kesrini sadeleştirin.

$$a=\frac{1}{4}$$

Denklem çözüldü.

$$a=-1 a=\frac{1}{4}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-4a^{2}-3a+1=0$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$-4a^{2}-3a+1-1=-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$-4a^{2}-3a=-1$$

Her iki tarafı -4 ile bölün.

$$\frac{-4a^{2}-3a}{-4}=-\frac{1}{-4}$$

-4 ile bölme, -4 ile çarpma işlemini geri alır.

$$a^{2}+\left(-\frac{3}{-4}\right)a=-\frac{1}{-4}$$

-3 sayısını -4 ile bölün.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a=-\frac{1}{-4}$$

-1 sayısını -4 ile bölün.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a=\frac{1}{4}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{3}{4} sayısını 2 değerine bölerek \frac{3}{8} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{3}{8} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{8}\right)^{2}$$

\frac{3}{8} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}=\frac{1}{4}+\frac{9}{64}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{1}{4} ile \frac{9}{64} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}=\frac{25}{64}$$

Faktör a^{2}+\frac{3}{4}a+\frac{9}{64}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(a+\frac{3}{8}\right)^{2}=\frac{25}{64}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(a+\frac{3}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{25}{64}}$$

Sadeleştirin.

$$a+\frac{3}{8}=\frac{5}{8} a+\frac{3}{8}=-\frac{5}{8}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{3}{8} çıkarın.

$$a=\frac{1}{4} a=-1$$