-10x^2-9x+1=0 Denklemini Çözme

$$-10 { x }^{ 2 } -9x+1=0$$

x için çözün

$$x=\frac{1}{10}=0,1$$

$$x=-1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -10x^{2}+ax+bx+1 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-9 ab=-10=-10$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -10 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-10 2,-5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-10=-9 2-5=-3$$

Çözüm, -9 toplamını veren çifttir.

$$a=1 b=-10$$

-10x^{2}-9x+1 ifadesini \left(-10x^{2}+x\right)+\left(-10x+1\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-10x^{2}+x\right)+\left(-10x+1\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -1 -x çarpanlarına ayırın.

$$-x\left(10x-1\right)-\left(10x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 10x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(10x-1\right)\left(-x-1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 10x-1=0 ve -x-1=0 çözün.

$$x=\frac{1}{10} x=-1$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-10x^{2}-9x+1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -10, b yerine -9 ve c yerine 1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

-9 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-10\right)}}{2\left(-10\right)}$$

-4 ile -10 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+40}}{2\left(-10\right)}$$

40 ile 81 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{121}}{2\left(-10\right)}$$

121 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±11}{2\left(-10\right)}$$

-9 sayısının tersi: 9.

$$x=\frac{9±11}{2\left(-10\right)}$$

2 ile -10 sayısını çarpın.

$$x=\frac{9±11}{-20}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{9±11}{-20} denklemini çözün. 11 ile 9 sayısını toplayın.

$$x=\frac{20}{-20}$$

20 sayısını -20 ile bölün.

$$x=-1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{9±11}{-20} denklemini çözün. 11 sayısını 9 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{2}{-20}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-2}{-20} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{10}$$

Denklem çözüldü.

$$x=-1 x=\frac{1}{10}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-10x^{2}-9x+1=0$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$-10x^{2}-9x+1-1=-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$-10x^{2}-9x=-1$$

Her iki tarafı -10 ile bölün.

$$\frac{-10x^{2}-9x}{-10}=-\frac{1}{-10}$$

-10 ile bölme, -10 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{9}{-10}\right)x=-\frac{1}{-10}$$

-9 sayısını -10 ile bölün.

$$x^{2}+\frac{9}{10}x=-\frac{1}{-10}$$

-1 sayısını -10 ile bölün.

$$x^{2}+\frac{9}{10}x=\frac{1}{10}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{9}{10} sayısını 2 değerine bölerek \frac{9}{20} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{9}{20} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{9}{10}x+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{1}{10}+\left(\frac{9}{20}\right)^{2}$$

\frac{9}{20} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{9}{10}x+\frac{81}{400}=\frac{1}{10}+\frac{81}{400}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{1}{10} ile \frac{81}{400} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{9}{10}x+\frac{81}{400}=\frac{121}{400}$$

Faktör x^{2}+\frac{9}{10}x+\frac{81}{400}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{9}{20}\right)^{2}=\frac{121}{400}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{9}{20}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{400}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{9}{20}=\frac{11}{20} x+\frac{9}{20}=-\frac{11}{20}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{9}{20} çıkarın.

$$x=\frac{1}{10} x=-1$$