-x^2+2x+15=0 Denklemini Çözme

$$- x ^ { 2 } + 2 x + 15 = 0$$

x için çözün

$$x=-3$$

$$x=5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -x^{2}+ax+bx+15 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=2 ab=-15=-15$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -15 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,15 -3,5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+15=14 -3+5=2$$

Çözüm, 2 toplamını veren çifttir.

$$a=5 b=-3$$

-x^{2}+2x+15 ifadesini \left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(-3x+15\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -3 -x çarpanlarına ayırın.

$$-x\left(x-5\right)-3\left(x-5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-5\right)\left(-x-3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-5=0 ve -x-3=0 çözün.

$$x=5 x=-3$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -1, b yerine 2 ve c yerine 15 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

2 sayısının karesi.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-1\right)\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

-4 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+4\times 15}}{2\left(-1\right)}$$

4 ile 15 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+60}}{2\left(-1\right)}$$

60 ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-2±\sqrt{64}}{2\left(-1\right)}$$

64 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-2±8}{2\left(-1\right)}$$

2 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-2±8}{-2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-2±8}{-2} denklemini çözün. 8 ile -2 sayısını toplayın.

$$x=\frac{6}{-2}$$

6 sayısını -2 ile bölün.

$$x=-3$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-2±8}{-2} denklemini çözün. 8 sayısını -2 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

-10 sayısını -2 ile bölün.

$$x=5$$

Denklem çözüldü.

$$x=-3 x=5$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-x^{2}+2x+15=0$$

Denklemin her iki tarafından 15 çıkarın.

$$-x^{2}+2x+15-15=-15$$

15 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$-x^{2}+2x=-15$$

Her iki tarafı -1 ile bölün.

$$\frac{-x^{2}+2x}{-1}=-\frac{15}{-1}$$

-1 ile bölme, -1 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{2}{-1}x=-\frac{15}{-1}$$

2 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-2x=-\frac{15}{-1}$$

-15 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-2x=15$$

x teriminin katsayısı olan -2 sayısını 2 değerine bölerek -1 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -1 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-2x+1=15+1$$

1 ile 15 sayısını toplayın.

$$x^{2}-2x+1=16$$

Faktör x^{2}-2x+1. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=16$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{16}$$

Sadeleştirin.

$$x-1=4 x-1=-4$$

Denklemin her iki tarafına 1 ekleyin.

$$x=5 x=-3$$