-3x^2+51x-156=0 Denklemini Çözme

$$- 3 x ^ { 2 } + 51 x - 156 = 0$$

x için çözün

$$x=4$$

$$x=13$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafı 3 ile bölün.

$$-x^{2}+17x-52=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -x^{2}+ax+bx-52 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=17 ab=-\left(-52\right)=52$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 52 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,52 2,26 4,13$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+52=53 2+26=28 4+13=17$$

Çözüm, 17 toplamını veren çifttir.

$$a=13 b=4$$

-x^{2}+17x-52 ifadesini \left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-x^{2}+13x\right)+\left(4x-52\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 4 -x çarpanlarına ayırın.

$$-x\left(x-13\right)+4\left(x-13\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-13 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-13\right)\left(-x+4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-13=0 ve -x+4=0 çözün.

$$x=13 x=4$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -3, b yerine 51 ve c yerine -156 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

51 sayısının karesi.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-3\right)\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

-4 ile -3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+12\left(-156\right)}}{2\left(-3\right)}$$

12 ile -156 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-1872}}{2\left(-3\right)}$$

-1872 ile 2601 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-51±\sqrt{729}}{2\left(-3\right)}$$

729 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-51±27}{2\left(-3\right)}$$

2 ile -3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-51±27}{-6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-51±27}{-6} denklemini çözün. 27 ile -51 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{24}{-6}$$

-24 sayısını -6 ile bölün.

$$x=4$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-51±27}{-6} denklemini çözün. 27 sayısını -51 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{78}{-6}$$

-78 sayısını -6 ile bölün.

$$x=13$$

Denklem çözüldü.

$$x=4 x=13$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-3x^{2}+51x-156=0$$

Denklemin her iki tarafına 156 ekleyin.

$$-3x^{2}+51x-156-\left(-156\right)=-\left(-156\right)$$

-156 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$-3x^{2}+51x=-\left(-156\right)$$

-156 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$-3x^{2}+51x=156$$

Her iki tarafı -3 ile bölün.

$$\frac{-3x^{2}+51x}{-3}=\frac{156}{-3}$$

-3 ile bölme, -3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{51}{-3}x=\frac{156}{-3}$$

51 sayısını -3 ile bölün.

$$x^{2}-17x=\frac{156}{-3}$$

156 sayısını -3 ile bölün.

$$x^{2}-17x=-52$$

x teriminin katsayısı olan -17 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{17}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{17}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-17x+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}=-52+\left(-\frac{17}{2}\right)^{2}$$

-\frac{17}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=-52+\frac{289}{4}$$

\frac{289}{4} ile -52 sayısını toplayın.

$$x^{2}-17x+\frac{289}{4}=\frac{81}{4}$$

Faktör x^{2}-17x+\frac{289}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}=\frac{81}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{17}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{17}{2}=\frac{9}{2} x-\frac{17}{2}=-\frac{9}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{17}{2} ekleyin.

$$x=13 x=4$$