-2x^2+13x+24=0 Denklemini Çözme

$$- 2 x ^ { 2 } + 13 x + 24 = 0$$

x için çözün

$$x=8$$

$$x = -\frac{3}{2} = -1\frac{1}{2} = -1,5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -2x^{2}+ax+bx+24 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=13 ab=-2\times 24=-48$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -48 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,48 -2,24 -3,16 -4,12 -6,8$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+48=47 -2+24=22 -3+16=13 -4+12=8 -6+8=2$$

Çözüm, 13 toplamını veren çifttir.

$$a=16 b=-3$$

-2x^{2}+13x+24 ifadesini \left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-2x^{2}+16x\right)+\left(-3x+24\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 3 2x çarpanlarına ayırın.

$$2x\left(-x+8\right)+3\left(-x+8\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak -x+8 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(-x+8\right)\left(2x+3\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için -x+8=0 ve 2x+3=0 çözün.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -2, b yerine 13 ve c yerine 24 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

13 sayısının karesi.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-2\right)\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

-4 ile -2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+8\times 24}}{2\left(-2\right)}$$

8 ile 24 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+192}}{2\left(-2\right)}$$

192 ile 169 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-13±\sqrt{361}}{2\left(-2\right)}$$

361 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-13±19}{2\left(-2\right)}$$

2 ile -2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-13±19}{-4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-13±19}{-4} denklemini çözün. 19 ile -13 sayısını toplayın.

$$x=\frac{6}{-4}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{6}{-4} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{3}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-13±19}{-4} denklemini çözün. 19 sayısını -13 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{32}{-4}$$

-32 sayısını -4 ile bölün.

$$x=8$$

Denklem çözüldü.

$$x=-\frac{3}{2} x=8$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-2x^{2}+13x+24=0$$

Denklemin her iki tarafından 24 çıkarın.

$$-2x^{2}+13x+24-24=-24$$

24 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$-2x^{2}+13x=-24$$

Her iki tarafı -2 ile bölün.

$$\frac{-2x^{2}+13x}{-2}=-\frac{24}{-2}$$

-2 ile bölme, -2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{13}{-2}x=-\frac{24}{-2}$$

13 sayısını -2 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=-\frac{24}{-2}$$

-24 sayısını -2 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x=12$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{13}{2} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{13}{4} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{13}{4} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}=12+\left(-\frac{13}{4}\right)^{2}$$

-\frac{13}{4} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=12+\frac{169}{16}$$

\frac{169}{16} ile 12 sayısını toplayın.

$$x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}=\frac{361}{16}$$

Faktör x^{2}-\frac{13}{2}x+\frac{169}{16}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}=\frac{361}{16}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{16}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{13}{4}=\frac{19}{4} x-\frac{13}{4}=-\frac{19}{4}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{13}{4} ekleyin.

$$x=8 x=-\frac{3}{2}$$