-2x^2+12x-14>0 Denklemini Çözme

$$- 2 x ^ { 2 } + 12 x - 14 > 0$$

x için çöz

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

-2x^{2}+12x-14 içindeki en yüksek üssün katsayısını pozitif yapmak için eşitsizliği -1 ile çarpın. -1 negatif olduğundan, eşitsizlik yönü değiştirilir.

$$2x^{2}-12x+14<0$$

Eşitsizliği çözmek için sol tarafı çarpanlarına ayırın. İkinci dereceden polinomsal ifadeler ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) dönüşümü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Burada x_{1} ve x_{2} ikinci dereceden ax^{2}+bx+c=0 denkleminin çözümleridir.

$$2x^{2}-12x+14=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, şu ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü içinde a için 2, b için -12 ve c için 14 kullanın.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 2\times 14}}{2\times 2}$$

Hesaplamaları yapın.

$$x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4}$$

± artı ve ± eksi olduğunda x=\frac{12±4\sqrt{2}}{4} denklemini çözün.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Elde edilen çözümleri kullanarak eşitsizliği yeniden yazın.

$$2\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Çarpımın negatif olması için x-\left(\sqrt{2}+3\right) ve x-\left(3-\sqrt{2}\right) değerlerinin ters işaretli olması gerekir. x-\left(\sqrt{2}+3\right) değerinin pozitif ve x-\left(3-\sqrt{2}\right) değerinin negatif olduğu durumu düşünün.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Bu, her x için yanlıştır.

$$x\in \emptyset$$

x-\left(3-\sqrt{2}\right) değerinin pozitif ve x-\left(\sqrt{2}+3\right) değerinin negatif olduğu durumu düşünün.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Her iki eşitsizliği de karşılayan çözüm: x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Son çözüm, elde edilen çözümlerin birleşimidir.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$