-16t^2+96t-108 Denklemini Çözme

$$- 16 t ^ { 2 } + 96 t - 108$$

Çarpanlara Ayır

$$4\left(3-2t\right)\left(2t-9\right)$$

Çözüm Adımları

4 ortak çarpan parantezine alın.

$$4\left(-4t^{2}+24t-27\right)$$

-4t^{2}+24t-27 ifadesini dikkate alın. İfadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle ifadenin -4t^{2}+at+bt-27 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=24 ab=-4\left(-27\right)=108$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 108 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,108 2,54 3,36 4,27 6,18 9,12$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+108=109 2+54=56 3+36=39 4+27=31 6+18=24 9+12=21$$

Çözüm, 24 toplamını veren çifttir.

$$a=18 b=6$$

-4t^{2}+24t-27 ifadesini \left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-4t^{2}+18t\right)+\left(6t-27\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 3 -2t çarpanlarına ayırın.

$$-2t\left(2t-9\right)+3\left(2t-9\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2t-9 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

Çarpanlarına ayrılan tüm ifadeyi yeniden yazın.

$$4\left(2t-9\right)\left(-2t+3\right)$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

İkinci dereceden polinomsal ifadeler ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) dönüşümü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Burada x_{1} ve x_{2} ikinci dereceden ax^{2}+bx+c=0 denkleminin çözümleridir.

$$-16t^{2}+96t-108=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$t=\frac{-96±\sqrt{96^{2}-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

96 sayısının karesi.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-4\left(-16\right)\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

-4 ile -16 sayısını çarpın.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216+64\left(-108\right)}}{2\left(-16\right)}$$

64 ile -108 sayısını çarpın.

$$t=\frac{-96±\sqrt{9216-6912}}{2\left(-16\right)}$$

-6912 ile 9216 sayısını toplayın.

$$t=\frac{-96±\sqrt{2304}}{2\left(-16\right)}$$

2304 sayısının karekökünü alın.

$$t=\frac{-96±48}{2\left(-16\right)}$$

2 ile -16 sayısını çarpın.

$$t=\frac{-96±48}{-32}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak t=\frac{-96±48}{-32} denklemini çözün. 48 ile -96 sayısını toplayın.

$$t=-\frac{48}{-32}$$

16 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-48}{-32} kesrini sadeleştirin.

$$t=\frac{3}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak t=\frac{-96±48}{-32} denklemini çözün. 48 sayısını -96 sayısından çıkarın.

$$t=-\frac{144}{-32}$$

16 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-144}{-32} kesrini sadeleştirin.

$$t=\frac{9}{2}$$

Özgün ifadeyi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) kullanarak çarpanlarına ayırın. \frac{3}{2} yerine x_{1}, \frac{9}{2} yerine ise x_{2} koyun.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\left(t-\frac{3}{2}\right)\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları çıkararak t sayısını \frac{3}{2} sayısından çıkarın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\left(t-\frac{9}{2}\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları çıkararak t sayısını \frac{9}{2} sayısından çıkarın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{-2t+3}{-2}\times \frac{-2t+9}{-2}$$

Payları paylarla ve paydaları paydalarla çarparak \frac{-2t+3}{-2} ile \frac{-2t+9}{-2} sayısını çarpın. Daha sonra kesri en küçük terime sadeleştirin.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{-2\left(-2\right)}$$

-2 ile -2 sayısını çarpın.

$$-16t^{2}+96t-108=-16\times \frac{\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)}{4}$$

-16 ve 4 sayılarını, bu sayıların en büyük ortak çarpanı olan 4 ile sadeleştirin.

$$-16t^{2}+96t-108=-4\left(-2t+3\right)\left(-2t+9\right)$$

Hesapla

$$-16t^{2}+96t-108$$