-x^2+7x-10=0 Denklemini Çözme

$$- { x }^{ 2 } +7x-10 = 0$$

x için çözün

$$x=2$$

$$x=5$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -x^{2}+ax+bx-10 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=7 ab=-\left(-10\right)=10$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 10 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,10 2,5$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+10=11 2+5=7$$

Çözüm, 7 toplamını veren çifttir.

$$a=5 b=2$$

-x^{2}+7x-10 ifadesini \left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-x^{2}+5x\right)+\left(2x-10\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 2 -x çarpanlarına ayırın.

$$-x\left(x-5\right)+2\left(x-5\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-5 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-5\right)\left(-x+2\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-5=0 ve -x+2=0 çözün.

$$x=5 x=2$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -1, b yerine 7 ve c yerine -10 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-7±\sqrt{7^{2}-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

7 sayısının karesi.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-4\left(-1\right)\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49+4\left(-10\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 ile -10 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-7±\sqrt{49-40}}{2\left(-1\right)}$$

-40 ile 49 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-7±\sqrt{9}}{2\left(-1\right)}$$

9 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-7±3}{2\left(-1\right)}$$

2 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-7±3}{-2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-7±3}{-2} denklemini çözün. 3 ile -7 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

-4 sayısını -2 ile bölün.

$$x=2$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-7±3}{-2} denklemini çözün. 3 sayısını -7 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{10}{-2}$$

-10 sayısını -2 ile bölün.

$$x=5$$

Denklem çözüldü.

$$x=2 x=5$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-x^{2}+7x-10=0$$

Denklemin her iki tarafına 10 ekleyin.

$$-x^{2}+7x-10-\left(-10\right)=-\left(-10\right)$$

-10 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$-x^{2}+7x=-\left(-10\right)$$

-10 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$-x^{2}+7x=10$$

Her iki tarafı -1 ile bölün.

$$\frac{-x^{2}+7x}{-1}=\frac{10}{-1}$$

-1 ile bölme, -1 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{7}{-1}x=\frac{10}{-1}$$

7 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-7x=\frac{10}{-1}$$

10 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-7x=-10$$

x teriminin katsayısı olan -7 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{7}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{7}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-7x+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}=-10+\left(-\frac{7}{2}\right)^{2}$$

-\frac{7}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=-10+\frac{49}{4}$$

\frac{49}{4} ile -10 sayısını toplayın.

$$x^{2}-7x+\frac{49}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktör x^{2}-7x+\frac{49}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{7}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{7}{2}=\frac{3}{2} x-\frac{7}{2}=-\frac{3}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{7}{2} ekleyin.

$$x=5 x=2$$