-x^2+45x-200=124 Denklemini Çözme

$$- { x }^{ 2 } +45x-200=124$$

x için çözün

$$x=9$$

$$x=36$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki taraftan 124 sayısını çıkarın.

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

-200 sayısından 124 sayısını çıkarıp -324 sonucunu bulun.

$$-x^{2}+45x-324=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -x^{2}+ax+bx-324 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=45 ab=-\left(-324\right)=324$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 324 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,324 2,162 3,108 4,81 6,54 9,36 12,27 18,18$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+324=325 2+162=164 3+108=111 4+81=85 6+54=60 9+36=45 12+27=39 18+18=36$$

Çözüm, 45 toplamını veren çifttir.

$$a=36 b=9$$

-x^{2}+45x-324 ifadesini \left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-x^{2}+36x\right)+\left(9x-324\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 9 -x çarpanlarına ayırın.

$$-x\left(x-36\right)+9\left(x-36\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-36 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-36\right)\left(-x+9\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-36=0 ve -x+9=0 çözün.

$$x=36 x=9$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-x^{2}+45x-200=124$$

Denklemin her iki tarafından 124 çıkarın.

$$-x^{2}+45x-200-124=124-124$$

124 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$-x^{2}+45x-200-124=0$$

124 sayısını -200 sayısından çıkarın.

$$-x^{2}+45x-324=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -1, b yerine 45 ve c yerine -324 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-45±\sqrt{45^{2}-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

45 sayısının karesi.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-4\left(-1\right)\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025+4\left(-324\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 ile -324 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-45±\sqrt{2025-1296}}{2\left(-1\right)}$$

-1296 ile 2025 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-45±\sqrt{729}}{2\left(-1\right)}$$

729 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-45±27}{2\left(-1\right)}$$

2 ile -1 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-45±27}{-2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-45±27}{-2} denklemini çözün. 27 ile -45 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{18}{-2}$$

-18 sayısını -2 ile bölün.

$$x=9$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-45±27}{-2} denklemini çözün. 27 sayısını -45 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{72}{-2}$$

-72 sayısını -2 ile bölün.

$$x=36$$

Denklem çözüldü.

$$x=9 x=36$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$-x^{2}+45x-200=124$$

Denklemin her iki tarafına 200 ekleyin.

$$-x^{2}+45x-200-\left(-200\right)=124-\left(-200\right)$$

-200 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$-x^{2}+45x=124-\left(-200\right)$$

-200 sayısını 124 sayısından çıkarın.

$$-x^{2}+45x=324$$

Her iki tarafı -1 ile bölün.

$$\frac{-x^{2}+45x}{-1}=\frac{324}{-1}$$

-1 ile bölme, -1 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{45}{-1}x=\frac{324}{-1}$$

45 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-45x=\frac{324}{-1}$$

324 sayısını -1 ile bölün.

$$x^{2}-45x=-324$$

x teriminin katsayısı olan -45 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{45}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{45}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-45x+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}=-324+\left(-\frac{45}{2}\right)^{2}$$

-\frac{45}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=-324+\frac{2025}{4}$$

\frac{2025}{4} ile -324 sayısını toplayın.

$$x^{2}-45x+\frac{2025}{4}=\frac{729}{4}$$

Faktör x^{2}-45x+\frac{2025}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{45}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{45}{2}=\frac{27}{2} x-\frac{45}{2}=-\frac{27}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{45}{2} ekleyin.

$$x=36 x=9$$