-n^2/12+11n/12=-5 Denklemini Çözme

$$- \frac { n ^ { 2 } } { 12 } + \frac { 11 n } { 12 } = - 5$$

n için çözün

$$n=-4$$

$$n=15$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Denklemin her iki tarafını 12 ile çarpın.

$$-n^{2}+11n=-60$$

Her iki tarafa 60 ekleyin.

$$-n^{2}+11n+60=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -n^{2}+an+bn+60 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=11 ab=-60=-60$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -60 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

Çözüm, 11 toplamını veren çifttir.

$$a=15 b=-4$$

-n^{2}+11n+60 ifadesini \left(-n^{2}+15n\right)+\left(-4n+60\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-n^{2}+15n\right)+\left(-4n+60\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -4 -n çarpanlarına ayırın.

$$-n\left(n-15\right)-4\left(n-15\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak n-15 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(n-15\right)\left(-n-4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için n-15=0 ve -n-4=0 çözün.

$$n=15 n=-4$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Denklemin her iki tarafını 12 ile çarpın.

$$-n^{2}+11n=-60$$

Her iki tarafa 60 ekleyin.

$$-n^{2}+11n+60=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -1, b yerine 11 ve c yerine 60 değerini koyarak çözün.

$$n=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\left(-1\right)\times 60}}{2\left(-1\right)}$$

11 sayısının karesi.

$$n=\frac{-11±\sqrt{121-4\left(-1\right)\times 60}}{2\left(-1\right)}$$

-4 ile -1 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-11±\sqrt{121+4\times 60}}{2\left(-1\right)}$$

4 ile 60 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-11±\sqrt{121+240}}{2\left(-1\right)}$$

240 ile 121 sayısını toplayın.

$$n=\frac{-11±\sqrt{361}}{2\left(-1\right)}$$

361 sayısının karekökünü alın.

$$n=\frac{-11±19}{2\left(-1\right)}$$

2 ile -1 sayısını çarpın.

$$n=\frac{-11±19}{-2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak n=\frac{-11±19}{-2} denklemini çözün. 19 ile -11 sayısını toplayın.

$$n=\frac{8}{-2}$$

8 sayısını -2 ile bölün.

$$n=-4$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak n=\frac{-11±19}{-2} denklemini çözün. 19 sayısını -11 sayısından çıkarın.

$$n=-\frac{30}{-2}$$

-30 sayısını -2 ile bölün.

$$n=15$$

Denklem çözüldü.

$$n=-4 n=15$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Denklemin her iki tarafını 12 ile çarpın.

$$-n^{2}+11n=-60$$

Her iki tarafı -1 ile bölün.

$$\frac{-n^{2}+11n}{-1}=-\frac{60}{-1}$$

-1 ile bölme, -1 ile çarpma işlemini geri alır.

$$n^{2}+\frac{11}{-1}n=-\frac{60}{-1}$$

11 sayısını -1 ile bölün.

$$n^{2}-11n=-\frac{60}{-1}$$

-60 sayısını -1 ile bölün.

$$n^{2}-11n=60$$

x teriminin katsayısı olan -11 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{11}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{11}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

-\frac{11}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

\frac{121}{4} ile 60 sayısını toplayın.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Faktör n^{2}-11n+\frac{121}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{11}{2} ekleyin.

$$n=15 n=-4$$