(x-3)^2<2 Denklemini Çözme

$$( x - 3 ) ^ { 2 } < 2$$

x için çöz

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Çözüm Adımları

Eşitsizliği çözmek için sol tarafı çarpanlarına ayırın. İkinci dereceden polinomsal ifadeler ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) dönüşümü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Burada x_{1} ve x_{2} ikinci dereceden ax^{2}+bx+c=0 denkleminin çözümleridir.

$$\left(x-3\right)^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, şu ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü içinde a için 1, b için -6 ve c için 7 kullanın.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 7}}{2}$$

Hesaplamaları yapın.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2}$$

± artı ve ± eksi olduğunda x=\frac{6±2\sqrt{2}}{2} denklemini çözün.

$$x=\sqrt{2}+3 x=3-\sqrt{2}$$

Elde edilen çözümleri kullanarak eşitsizliği yeniden yazın.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{2}\right)\right)<0$$

Çarpımın negatif olması için x-\left(\sqrt{2}+3\right) ve x-\left(3-\sqrt{2}\right) değerlerinin ters işaretli olması gerekir. x-\left(\sqrt{2}+3\right) değerinin pozitif ve x-\left(3-\sqrt{2}\right) değerinin negatif olduğu durumu düşünün.

$$x-\left(\sqrt{2}+3\right)>0 x-\left(3-\sqrt{2}\right)<0$$

Bu, her x için yanlıştır.

$$x\in \emptyset$$

x-\left(3-\sqrt{2}\right) değerinin pozitif ve x-\left(\sqrt{2}+3\right) değerinin negatif olduğu durumu düşünün.

$$x-\left(3-\sqrt{2}\right)>0 x-\left(\sqrt{2}+3\right)<0$$

Her iki eşitsizliği de karşılayan çözüm: x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right).

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$

Son çözüm, elde edilen çözümlerin birleşimidir.

$$x\in \left(3-\sqrt{2},\sqrt{2}+3\right)$$