(x-1)^2=4x(x-1) Denklemini Çözme

$$( x - 1 ) ^ { 2 } = 4 x ( x - 1 )$$

x için çözün

$$x=1$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0,333333333$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

\left(x-1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

4x sayısını x-1 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Her iki taraftan 4x^{2} sayısını çıkarın.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

x^{2} ve -4x^{2} terimlerini birleştirerek -3x^{2} sonucunu elde edin.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Her iki tarafa 4x ekleyin.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

-2x ve 4x terimlerini birleştirerek 2x sonucunu elde edin.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -3x^{2}+ax+bx+1 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=2 ab=-3=-3$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Bu tür bir çift sistem çözümüdür.

$$a=3 b=-1$$

-3x^{2}+2x+1 ifadesini \left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-x+1\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-3x^{2}+3x\right)+\left(-x+1\right)$$

-3x^{2}+3x ifadesini 3x ortak çarpan parantezine alın.

$$3x\left(-x+1\right)-x+1$$

Dağılma özelliği kullanarak -x+1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(-x+1\right)\left(3x+1\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için -x+1=0 ve 3x+1=0 çözün.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

\left(x-1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

4x sayısını x-1 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Her iki taraftan 4x^{2} sayısını çıkarın.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

x^{2} ve -4x^{2} terimlerini birleştirerek -3x^{2} sonucunu elde edin.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Her iki tarafa 4x ekleyin.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

-2x ve 4x terimlerini birleştirerek 2x sonucunu elde edin.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -3, b yerine 2 ve c yerine 1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

2 sayısının karesi.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\left(-3\right)}}{2\left(-3\right)}$$

-4 ile -3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4+12}}{2\left(-3\right)}$$

12 ile 4 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-2±\sqrt{16}}{2\left(-3\right)}$$

16 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-2±4}{2\left(-3\right)}$$

2 ile -3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-2±4}{-6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-2±4}{-6} denklemini çözün. 4 ile -2 sayısını toplayın.

$$x=\frac{2}{-6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{2}{-6} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{1}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-2±4}{-6} denklemini çözün. 4 sayısını -2 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{6}{-6}$$

-6 sayısını -6 ile bölün.

$$x=1$$

Denklem çözüldü.

$$x=-\frac{1}{3} x=1$$

Kareyi Tamamlama Adımları

\left(x-1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}-2x+1=4x\left(x-1\right)$$

4x sayısını x-1 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$x^{2}-2x+1=4x^{2}-4x$$

Her iki taraftan 4x^{2} sayısını çıkarın.

$$x^{2}-2x+1-4x^{2}=-4x$$

x^{2} ve -4x^{2} terimlerini birleştirerek -3x^{2} sonucunu elde edin.

$$-3x^{2}-2x+1=-4x$$

Her iki tarafa 4x ekleyin.

$$-3x^{2}-2x+1+4x=0$$

-2x ve 4x terimlerini birleştirerek 2x sonucunu elde edin.

$$-3x^{2}+2x+1=0$$

Her iki taraftan 1 sayısını çıkarın. Bir sayı sıfırdan çıkarılırsa sonuç o sayının negatifine eşit olur.

$$-3x^{2}+2x=-1$$

Her iki tarafı -3 ile bölün.

$$\frac{-3x^{2}+2x}{-3}=-\frac{1}{-3}$$

-3 ile bölme, -3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{2}{-3}x=-\frac{1}{-3}$$

2 sayısını -3 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=-\frac{1}{-3}$$

-1 sayısını -3 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x=\frac{1}{3}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{2}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{1}{3}+\left(-\frac{1}{3}\right)^{2}$$

-\frac{1}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{1}{3}+\frac{1}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{1}{3} ile \frac{1}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}=\frac{4}{9}$$

Faktör x^{2}-\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}=\frac{4}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{4}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{3}=\frac{2}{3} x-\frac{1}{3}=-\frac{2}{3}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{3} ekleyin.

$$x=1 x=-\frac{1}{3}$$