(x-1)^2+(2x+2)^2=16 Denklemini Çözme

$$( x - 1 ) ^ { 2 } + ( 2 x + 2 ) ^ { 2 } = 16$$

x için çözün

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

$$x=1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

\left(x-1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

\left(2x+2\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

x^{2} ve 4x^{2} terimlerini birleştirerek 5x^{2} sonucunu elde edin.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

-2x ve 8x terimlerini birleştirerek 6x sonucunu elde edin.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

1 ve 4 sayılarını toplayarak 5 sonucunu bulun.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Her iki taraftan 16 sayısını çıkarın.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

5 sayısından 16 sayısını çıkarıp -11 sonucunu bulun.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 5x^{2}+ax+bx-11 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=6 ab=5\left(-11\right)=-55$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -55 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,55 -5,11$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+55=54 -5+11=6$$

Çözüm, 6 toplamını veren çifttir.

$$a=-5 b=11$$

5x^{2}+6x-11 ifadesini \left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(5x^{2}-5x\right)+\left(11x-11\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 11 5x çarpanlarına ayırın.

$$5x\left(x-1\right)+11\left(x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-1\right)\left(5x+11\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-1=0 ve 5x+11=0 çözün.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

\left(x-1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

\left(2x+2\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

x^{2} ve 4x^{2} terimlerini birleştirerek 5x^{2} sonucunu elde edin.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

-2x ve 8x terimlerini birleştirerek 6x sonucunu elde edin.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

1 ve 4 sayılarını toplayarak 5 sonucunu bulun.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Her iki taraftan 16 sayısını çıkarın.

$$5x^{2}+6x+5-16=0$$

5 sayısından 16 sayısını çıkarıp -11 sonucunu bulun.

$$5x^{2}+6x-11=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 5, b yerine 6 ve c yerine -11 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-6±\sqrt{6^{2}-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

6 sayısının karesi.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-4\times 5\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

-4 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36-20\left(-11\right)}}{2\times 5}$$

-20 ile -11 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-6±\sqrt{36+220}}{2\times 5}$$

220 ile 36 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-6±\sqrt{256}}{2\times 5}$$

256 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-6±16}{2\times 5}$$

2 ile 5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-6±16}{10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-6±16}{10} denklemini çözün. 16 ile -6 sayısını toplayın.

$$x=\frac{10}{10}$$

10 sayısını 10 ile bölün.

$$x=1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-6±16}{10} denklemini çözün. 16 sayısını -6 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{22}{10}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-22}{10} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Denklem çözüldü.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

\left(x-1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}-2x+1+\left(2x+2\right)^{2}=16$$

\left(2x+2\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}-2x+1+4x^{2}+8x+4=16$$

x^{2} ve 4x^{2} terimlerini birleştirerek 5x^{2} sonucunu elde edin.

$$5x^{2}-2x+1+8x+4=16$$

-2x ve 8x terimlerini birleştirerek 6x sonucunu elde edin.

$$5x^{2}+6x+1+4=16$$

1 ve 4 sayılarını toplayarak 5 sonucunu bulun.

$$5x^{2}+6x+5=16$$

Her iki taraftan 5 sayısını çıkarın.

$$5x^{2}+6x=16-5$$

16 sayısından 5 sayısını çıkarıp 11 sonucunu bulun.

$$5x^{2}+6x=11$$

Her iki tarafı 5 ile bölün.

$$\frac{5x^{2}+6x}{5}=\frac{11}{5}$$

5 ile bölme, 5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x=\frac{11}{5}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{6}{5} sayısını 2 değerine bölerek \frac{3}{5} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{3}{5} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{11}{5}+\left(\frac{3}{5}\right)^{2}$$

\frac{3}{5} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{11}{5}+\frac{9}{25}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{11}{5} ile \frac{9}{25} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}=\frac{64}{25}$$

Faktör x^{2}+\frac{6}{5}x+\frac{9}{25}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}=\frac{64}{25}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{25}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{3}{5}=\frac{8}{5} x+\frac{3}{5}=-\frac{8}{5}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{3}{5} çıkarın.

$$x=1 x=-\frac{11}{5}$$