(x+3)^2-(2x-1)^2=16 Denklemini Çözme

$$( x + 3 ) ^ { 2 } - ( 2 x - 1 ) ^ { 2 } = 16$$

x için çözün

$$x=2$$

$$x = \frac{4}{3} = 1\frac{1}{3} \approx 1,333333333$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

\left(x+3\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

\left(2x-1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

4x^{2}-4x+1 tersini bulmak için her terimin tersini bulun.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

x^{2} ve -4x^{2} terimlerini birleştirerek -3x^{2} sonucunu elde edin.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

6x ve 4x terimlerini birleştirerek 10x sonucunu elde edin.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

9 sayısından 1 sayısını çıkarıp 8 sonucunu bulun.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Her iki taraftan 16 sayısını çıkarın.

$$-3x^{2}+10x+8-16=0$$

8 sayısından 16 sayısını çıkarıp -8 sonucunu bulun.

$$-3x^{2}+10x-8=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -3x^{2}+ax+bx-8 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=10 ab=-3\left(-8\right)=24$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 24 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

Çözüm, 10 toplamını veren çifttir.

$$a=6 b=4$$

-3x^{2}+10x-8 ifadesini \left(-3x^{2}+6x\right)+\left(4x-8\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(4x-8\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -4 3x çarpanlarına ayırın.

$$3x\left(-x+2\right)-4\left(-x+2\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak -x+2 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(-x+2\right)\left(3x-4\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için -x+2=0 ve 3x-4=0 çözün.

$$x=2 x=\frac{4}{3}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

\left(x+3\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

\left(2x-1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

4x^{2}-4x+1 tersini bulmak için her terimin tersini bulun.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

x^{2} ve -4x^{2} terimlerini birleştirerek -3x^{2} sonucunu elde edin.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

6x ve 4x terimlerini birleştirerek 10x sonucunu elde edin.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

9 sayısından 1 sayısını çıkarıp 8 sonucunu bulun.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Her iki taraftan 16 sayısını çıkarın.

$$-3x^{2}+10x+8-16=0$$

8 sayısından 16 sayısını çıkarıp -8 sonucunu bulun.

$$-3x^{2}+10x-8=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -3, b yerine 10 ve c yerine -8 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-10±\sqrt{10^{2}-4\left(-3\right)\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

10 sayısının karesi.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-4\left(-3\right)\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

-4 ile -3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100+12\left(-8\right)}}{2\left(-3\right)}$$

12 ile -8 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-10±\sqrt{100-96}}{2\left(-3\right)}$$

-96 ile 100 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-10±\sqrt{4}}{2\left(-3\right)}$$

4 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-10±2}{2\left(-3\right)}$$

2 ile -3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-10±2}{-6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-10±2}{-6} denklemini çözün. 2 ile -10 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{8}{-6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-8}{-6} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{4}{3}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-10±2}{-6} denklemini çözün. 2 sayısını -10 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

-12 sayısını -6 ile bölün.

$$x=2$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{4}{3} x=2$$

Kareyi Tamamlama Adımları

\left(x+3\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}+6x+9-\left(2x-1\right)^{2}=16$$

\left(2x-1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$x^{2}+6x+9-\left(4x^{2}-4x+1\right)=16$$

4x^{2}-4x+1 tersini bulmak için her terimin tersini bulun.

$$x^{2}+6x+9-4x^{2}+4x-1=16$$

x^{2} ve -4x^{2} terimlerini birleştirerek -3x^{2} sonucunu elde edin.

$$-3x^{2}+6x+9+4x-1=16$$

6x ve 4x terimlerini birleştirerek 10x sonucunu elde edin.

$$-3x^{2}+10x+9-1=16$$

9 sayısından 1 sayısını çıkarıp 8 sonucunu bulun.

$$-3x^{2}+10x+8=16$$

Her iki taraftan 8 sayısını çıkarın.

$$-3x^{2}+10x=16-8$$

16 sayısından 8 sayısını çıkarıp 8 sonucunu bulun.

$$-3x^{2}+10x=8$$

Her iki tarafı -3 ile bölün.

$$\frac{-3x^{2}+10x}{-3}=\frac{8}{-3}$$

-3 ile bölme, -3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{10}{-3}x=\frac{8}{-3}$$

10 sayısını -3 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=\frac{8}{-3}$$

8 sayısını -3 ile bölün.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x=-\frac{8}{3}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{10}{3} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{5}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{5}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}=-\frac{8}{3}+\left(-\frac{5}{3}\right)^{2}$$

-\frac{5}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=-\frac{8}{3}+\frac{25}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{8}{3} ile \frac{25}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}=\frac{1}{9}$$

Faktör x^{2}-\frac{10}{3}x+\frac{25}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}=\frac{1}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{5}{3}=\frac{1}{3} x-\frac{5}{3}=-\frac{1}{3}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{5}{3} ekleyin.

$$x=2 x=\frac{4}{3}$$