(5x+7)^2=16 Denklemini Çözme

$$( 5 x + 7 ) ^ { 2 } = 16$$

x için çözün

$$x=-\frac{3}{5}=-0,6$$

$$x = -\frac{11}{5} = -2\frac{1}{5} = -2,2$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

\left(5x+7\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Her iki taraftan 16 sayısını çıkarın.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

49 sayısından 16 sayısını çıkarıp 33 sonucunu bulun.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 25x^{2}+ax+bx+33 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=70 ab=25\times 33=825$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b pozitif olduğundan a ve b her ikisi de pozitif. Çarpımı 825 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,825 3,275 5,165 11,75 15,55 25,33$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1+825=826 3+275=278 5+165=170 11+75=86 15+55=70 25+33=58$$

Çözüm, 70 toplamını veren çifttir.

$$a=15 b=55$$

25x^{2}+70x+33 ifadesini \left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(25x^{2}+15x\right)+\left(55x+33\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 11 5x çarpanlarına ayırın.

$$5x\left(5x+3\right)+11\left(5x+3\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 5x+3 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(5x+3\right)\left(5x+11\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 5x+3=0 ve 5x+11=0 çözün.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

\left(5x+7\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Her iki taraftan 16 sayısını çıkarın.

$$25x^{2}+70x+49-16=0$$

49 sayısından 16 sayısını çıkarıp 33 sonucunu bulun.

$$25x^{2}+70x+33=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 25, b yerine 70 ve c yerine 33 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-70±\sqrt{70^{2}-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

70 sayısının karesi.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-4\times 25\times 33}}{2\times 25}$$

-4 ile 25 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-100\times 33}}{2\times 25}$$

-100 ile 33 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-70±\sqrt{4900-3300}}{2\times 25}$$

-3300 ile 4900 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-70±\sqrt{1600}}{2\times 25}$$

1600 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-70±40}{2\times 25}$$

2 ile 25 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-70±40}{50}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-70±40}{50} denklemini çözün. 40 ile -70 sayısını toplayın.

$$x=-\frac{30}{50}$$

10 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-30}{50} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{3}{5}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-70±40}{50} denklemini çözün. 40 sayısını -70 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{110}{50}$$

10 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-110}{50} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{11}{5}$$

Denklem çözüldü.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

\left(5x+7\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$25x^{2}+70x+49=16$$

Her iki taraftan 49 sayısını çıkarın.

$$25x^{2}+70x=16-49$$

16 sayısından 49 sayısını çıkarıp -33 sonucunu bulun.

$$25x^{2}+70x=-33$$

Her iki tarafı 25 ile bölün.

$$\frac{25x^{2}+70x}{25}=-\frac{33}{25}$$

25 ile bölme, 25 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{70}{25}x=-\frac{33}{25}$$

5 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{70}{25} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x=-\frac{33}{25}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{14}{5} sayısını 2 değerine bölerek \frac{7}{5} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{7}{5} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}=-\frac{33}{25}+\left(\frac{7}{5}\right)^{2}$$

\frac{7}{5} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{-33+49}{25}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{33}{25} ile \frac{49}{25} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}=\frac{16}{25}$$

Faktör x^{2}+\frac{14}{5}x+\frac{49}{25}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}=\frac{16}{25}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{7}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{16}{25}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{7}{5}=\frac{4}{5} x+\frac{7}{5}=-\frac{4}{5}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{7}{5} çıkarın.

$$x=-\frac{3}{5} x=-\frac{11}{5}$$