(5x+6)^2=49 Denklemini Çözme

$$( 5 x + 6 ) ^ { 2 } = 49$$

x için çözün

$$x=\frac{1}{5}=0,2$$

$$x = -\frac{13}{5} = -2\frac{3}{5} = -2,6$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

\left(5x+6\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$25x^{2}+60x+36=49$$

Her iki taraftan 49 sayısını çıkarın.

$$25x^{2}+60x+36-49=0$$

36 sayısından 49 sayısını çıkarıp -13 sonucunu bulun.

$$25x^{2}+60x-13=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın 25x^{2}+ax+bx-13 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=60 ab=25\left(-13\right)=-325$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -325 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,325 -5,65 -13,25$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+325=324 -5+65=60 -13+25=12$$

Çözüm, 60 toplamını veren çifttir.

$$a=-5 b=65$$

25x^{2}+60x-13 ifadesini \left(25x^{2}-5x\right)+\left(65x-13\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(25x^{2}-5x\right)+\left(65x-13\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 13 5x çarpanlarına ayırın.

$$5x\left(5x-1\right)+13\left(5x-1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 5x-1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(5x-1\right)\left(5x+13\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 5x-1=0 ve 5x+13=0 çözün.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{13}{5}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

\left(5x+6\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$25x^{2}+60x+36=49$$

Her iki taraftan 49 sayısını çıkarın.

$$25x^{2}+60x+36-49=0$$

36 sayısından 49 sayısını çıkarıp -13 sonucunu bulun.

$$25x^{2}+60x-13=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 25, b yerine 60 ve c yerine -13 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-60±\sqrt{60^{2}-4\times 25\left(-13\right)}}{2\times 25}$$

60 sayısının karesi.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-4\times 25\left(-13\right)}}{2\times 25}$$

-4 ile 25 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600-100\left(-13\right)}}{2\times 25}$$

-100 ile -13 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-60±\sqrt{3600+1300}}{2\times 25}$$

1300 ile 3600 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-60±\sqrt{4900}}{2\times 25}$$

4900 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-60±70}{2\times 25}$$

2 ile 25 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-60±70}{50}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-60±70}{50} denklemini çözün. 70 ile -60 sayısını toplayın.

$$x=\frac{10}{50}$$

10 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{10}{50} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{1}{5}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-60±70}{50} denklemini çözün. 70 sayısını -60 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{130}{50}$$

10 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-130}{50} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{13}{5}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{13}{5}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

\left(5x+6\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$25x^{2}+60x+36=49$$

Her iki taraftan 36 sayısını çıkarın.

$$25x^{2}+60x=49-36$$

49 sayısından 36 sayısını çıkarıp 13 sonucunu bulun.

$$25x^{2}+60x=13$$

Her iki tarafı 25 ile bölün.

$$\frac{25x^{2}+60x}{25}=\frac{13}{25}$$

25 ile bölme, 25 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\frac{60}{25}x=\frac{13}{25}$$

5 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{60}{25} kesrini sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x=\frac{13}{25}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{12}{5} sayısını 2 değerine bölerek \frac{6}{5} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{6}{5} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{13}{25}+\left(\frac{6}{5}\right)^{2}$$

\frac{6}{5} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{13+36}{25}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{13}{25} ile \frac{36}{25} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}=\frac{49}{25}$$

Faktör x^{2}+\frac{12}{5}x+\frac{36}{25}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}=\frac{49}{25}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{6}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{25}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{6}{5}=\frac{7}{5} x+\frac{6}{5}=-\frac{7}{5}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{6}{5} çıkarın.

$$x=\frac{1}{5} x=-\frac{13}{5}$$