(4x-1)^2=(x-1)(x+1) Denklemini Çözme

$$( 4 x - 1 ) ^ { 2 } = ( x - 1 ) ( x + 1 )$$

x için çözün (complex solution)

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}\approx 0,266666667+0,249443826i$$

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}\approx 0,266666667-0,249443826i$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

\left(4x-1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

\left(x-1\right)\left(x+1\right) ifadesini dikkate alın. Çarpma şu kural kullanılarak iki kare farkına dönüştürülebilir: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 1 sayısının karesi.

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

16x^{2} ve -x^{2} terimlerini birleştirerek 15x^{2} sonucunu elde edin.

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

Her iki tarafa 1 ekleyin.

$$15x^{2}-8x+1+1=0$$

1 ve 1 sayılarını toplayarak 2 sonucunu bulun.

$$15x^{2}-8x+2=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 15, b yerine -8 ve c yerine 2 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

-8 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

-4 ile 15 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-60\times 2}}{2\times 15}$$

-60 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-120}}{2\times 15}$$

-120 ile 64 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{-56}}{2\times 15}$$

-56 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

-8 sayısının tersi: 8.

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{2\times 15}$$

2 ile 15 sayısını çarpın.

$$x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30} denklemini çözün. 2i\sqrt{14} ile 8 sayısını toplayın.

$$x=\frac{8+2\sqrt{14}i}{30}$$

8+2i\sqrt{14} sayısını 30 ile bölün.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{8±2\sqrt{14}i}{30} denklemini çözün. 2i\sqrt{14} sayısını 8 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-2\sqrt{14}i+8}{30}$$

8-2i\sqrt{14} sayısını 30 ile bölün.

$$x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

\left(4x-1\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$16x^{2}-8x+1=\left(x-1\right)\left(x+1\right)$$

\left(x-1\right)\left(x+1\right) ifadesini dikkate alın. Çarpma şu kural kullanılarak iki kare farkına dönüştürülebilir: \left(a-b\right)\left(a+b\right)=a^{2}-b^{2}. 1 sayısının karesi.

$$16x^{2}-8x+1=x^{2}-1$$

Her iki taraftan x^{2} sayısını çıkarın.

$$16x^{2}-8x+1-x^{2}=-1$$

16x^{2} ve -x^{2} terimlerini birleştirerek 15x^{2} sonucunu elde edin.

$$15x^{2}-8x+1=-1$$

Her iki taraftan 1 sayısını çıkarın.

$$15x^{2}-8x=-1-1$$

-1 sayısından 1 sayısını çıkarıp -2 sonucunu bulun.

$$15x^{2}-8x=-2$$

Her iki tarafı 15 ile bölün.

$$\frac{15x^{2}-8x}{15}=-\frac{2}{15}$$

15 ile bölme, 15 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x=-\frac{2}{15}$$

x teriminin katsayısı olan -\frac{8}{15} sayısını 2 değerine bölerek -\frac{4}{15} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{4}{15} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(-\frac{4}{15}\right)^{2}$$

-\frac{4}{15} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{2}{15}+\frac{16}{225}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak -\frac{2}{15} ile \frac{16}{225} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}=-\frac{14}{225}$$

Faktör x^{2}-\frac{8}{15}x+\frac{16}{225}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}=-\frac{14}{225}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{4}{15}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{14}{225}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{4}{15}=\frac{\sqrt{14}i}{15} x-\frac{4}{15}=-\frac{\sqrt{14}i}{15}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{4}{15} ekleyin.

$$x=\frac{4+\sqrt{14}i}{15} x=\frac{-\sqrt{14}i+4}{15}$$