(23-x)^2+x^2=17^2 Denklemini Çözme

$$( 23 - x ) ^ { 2 } + x ^ { 2 } = 17 ^ { 2 }$$

x için çözün

$$x=8$$

$$x=15$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

\left(23-x\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

x^{2} ve x^{2} terimlerini birleştirerek 2x^{2} sonucunu elde edin.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

2 sayısının 17 kuvvetini hesaplayarak 289 sonucunu bulun.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Her iki taraftan 289 sayısını çıkarın.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

529 sayısından 289 sayısını çıkarıp 240 sonucunu bulun.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$120-23x+x^{2}=0$$

Standart biçime dönüştürmek için polinomu yeniden düzenleyin. Terimleri üslerine göre azalan düzende sıralayın.

$$x^{2}-23x+120=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın x^{2}+ax+bx+120 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-23 ab=1\times 120=120$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 120 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-120 -2,-60 -3,-40 -4,-30 -5,-24 -6,-20 -8,-15 -10,-12$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-120=-121 -2-60=-62 -3-40=-43 -4-30=-34 -5-24=-29 -6-20=-26 -8-15=-23 -10-12=-22$$

Çözüm, -23 toplamını veren çifttir.

$$a=-15 b=-8$$

x^{2}-23x+120 ifadesini \left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(-8x+120\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -8 x çarpanlarına ayırın.

$$x\left(x-15\right)-8\left(x-15\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak x-15 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(x-15\right)\left(x-8\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için x-15=0 ve x-8=0 çözün.

$$x=15 x=8$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

\left(23-x\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

x^{2} ve x^{2} terimlerini birleştirerek 2x^{2} sonucunu elde edin.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

2 sayısının 17 kuvvetini hesaplayarak 289 sonucunu bulun.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Her iki taraftan 289 sayısını çıkarın.

$$529-46x+2x^{2}-289=0$$

529 sayısından 289 sayısını çıkarıp 240 sonucunu bulun.

$$240-46x+2x^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$2x^{2}-46x+240=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 2, b yerine -46 ve c yerine 240 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{\left(-46\right)^{2}-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

-46 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-4\times 2\times 240}}{2\times 2}$$

-4 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-8\times 240}}{2\times 2}$$

-8 ile 240 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{2116-1920}}{2\times 2}$$

-1920 ile 2116 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±\sqrt{196}}{2\times 2}$$

196 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-46\right)±14}{2\times 2}$$

-46 sayısının tersi: 46.

$$x=\frac{46±14}{2\times 2}$$

2 ile 2 sayısını çarpın.

$$x=\frac{46±14}{4}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{46±14}{4} denklemini çözün. 14 ile 46 sayısını toplayın.

$$x=\frac{60}{4}$$

60 sayısını 4 ile bölün.

$$x=15$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{46±14}{4} denklemini çözün. 14 sayısını 46 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{32}{4}$$

32 sayısını 4 ile bölün.

$$x=8$$

Denklem çözüldü.

$$x=15 x=8$$

Kareyi Tamamlama Adımları

\left(23-x\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a-b\right)^{2}=a^{2}-2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$529-46x+x^{2}+x^{2}=17^{2}$$

x^{2} ve x^{2} terimlerini birleştirerek 2x^{2} sonucunu elde edin.

$$529-46x+2x^{2}=17^{2}$$

2 sayısının 17 kuvvetini hesaplayarak 289 sonucunu bulun.

$$529-46x+2x^{2}=289$$

Her iki taraftan 529 sayısını çıkarın.

$$-46x+2x^{2}=289-529$$

289 sayısından 529 sayısını çıkarıp -240 sonucunu bulun.

$$-46x+2x^{2}=-240$$

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$2x^{2}-46x=-240$$

Her iki tarafı 2 ile bölün.

$$\frac{2x^{2}-46x}{2}=-\frac{240}{2}$$

2 ile bölme, 2 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{46}{2}\right)x=-\frac{240}{2}$$

-46 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}-23x=-\frac{240}{2}$$

-240 sayısını 2 ile bölün.

$$x^{2}-23x=-120$$

x teriminin katsayısı olan -23 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{23}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{23}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-23x+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}=-120+\left(-\frac{23}{2}\right)^{2}$$

-\frac{23}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=-120+\frac{529}{4}$$

\frac{529}{4} ile -120 sayısını toplayın.

$$x^{2}-23x+\frac{529}{4}=\frac{49}{4}$$

Faktör x^{2}-23x+\frac{529}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}=\frac{49}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{23}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{49}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{23}{2}=\frac{7}{2} x-\frac{23}{2}=-\frac{7}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{23}{2} ekleyin.

$$x=15 x=8$$