(22+51x-10x^2)_{max} Denklemini Çözme

$$( 22 + 51 x - 10 x ^ { 2 } ) _ { \max }$$

Çarpanlara Ayır

$$-\left(2x-11\right)\left(5x+2\right)$$

Çözüm Adımları

Standart biçime dönüştürmek için polinomu yeniden düzenleyin. Terimleri üslerine göre azalan düzende sıralayın.

$$-10x^{2}+51x+22$$

İfadeyi gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle ifadenin -10x^{2}+ax+bx+22 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=51 ab=-10\times 22=-220$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b pozitif olduğundan, pozitif sayı negatif boyuttan daha büyük mutlak değer içeriyor. Çarpımı -220 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,220 -2,110 -4,55 -5,44 -10,22 -11,20$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1+220=219 -2+110=108 -4+55=51 -5+44=39 -10+22=12 -11+20=9$$

Çözüm, 51 toplamını veren çifttir.

$$a=55 b=-4$$

-10x^{2}+51x+22 ifadesini \left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-10x^{2}+55x\right)+\left(-4x+22\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -2 -5x çarpanlarına ayırın.

$$-5x\left(2x-11\right)-2\left(2x-11\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 2x-11 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(2x-11\right)\left(-5x-2\right)$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

İkinci dereceden polinomsal ifadeler ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) dönüşümü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Burada x_{1} ve x_{2} ikinci dereceden ax^{2}+bx+c=0 denkleminin çözümleridir.

$$-10x^{2}+51x+22=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x=\frac{-51±\sqrt{51^{2}-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

51 sayısının karesi.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601-4\left(-10\right)\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

-4 ile -10 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+40\times 22}}{2\left(-10\right)}$$

40 ile 22 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-51±\sqrt{2601+880}}{2\left(-10\right)}$$

880 ile 2601 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-51±\sqrt{3481}}{2\left(-10\right)}$$

3481 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-51±59}{2\left(-10\right)}$$

2 ile -10 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-51±59}{-20}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{-51±59}{-20} denklemini çözün. 59 ile -51 sayısını toplayın.

$$x=\frac{8}{-20}$$

4 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{8}{-20} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{2}{5}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{-51±59}{-20} denklemini çözün. 59 sayısını -51 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{110}{-20}$$

10 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-110}{-20} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{11}{2}$$

Özgün ifadeyi ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) kullanarak çarpanlarına ayırın. -\frac{2}{5} yerine x_{1}, \frac{11}{2} yerine ise x_{2} koyun.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x-\left(-\frac{2}{5}\right)\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

p-\left(-q\right) biçimindeki tüm ifadeleri p+q biçiminde olacak şekilde sadeleştirin.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\left(x+\frac{2}{5}\right)\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{2}{5} ile x sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\left(x-\frac{11}{2}\right)$$

Ortak paydayı bularak ve payları çıkararak x sayısını \frac{11}{2} sayısından çıkarın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{-5x-2}{-5}\times \frac{-2x+11}{-2}$$

Payları paylarla ve paydaları paydalarla çarparak \frac{-5x-2}{-5} ile \frac{-2x+11}{-2} sayısını çarpın. Daha sonra kesri en küçük terime sadeleştirin.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{-5\left(-2\right)}$$

-5 ile -2 sayısını çarpın.

$$-10x^{2}+51x+22=-10\times \frac{\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)}{10}$$

-10 ve 10 sayılarını, bu sayıların en büyük ortak çarpanı olan 10 ile sadeleştirin.

$$-10x^{2}+51x+22=-\left(-5x-2\right)\left(-2x+11\right)$$

Hesapla

$$22+51x-10x^{2}$$