(2x+7)^2=9(x+2)^2 Denklemini Çözme

$$( 2 x + 7 ) ^ { 2 } = 9 ( x + 2 ) ^ { 2 }$$

x için çözün

$$x = -\frac{13}{5} = -2\frac{3}{5} = -2,6$$

$$x=1$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

\left(2x+7\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}+28x+49=9\left(x+2\right)^{2}$$

\left(x+2\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}+28x+49=9\left(x^{2}+4x+4\right)$$

9 sayısını x^{2}+4x+4 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$4x^{2}+28x+49=9x^{2}+36x+36$$

Her iki taraftan 9x^{2} sayısını çıkarın.

$$4x^{2}+28x+49-9x^{2}=36x+36$$

4x^{2} ve -9x^{2} terimlerini birleştirerek -5x^{2} sonucunu elde edin.

$$-5x^{2}+28x+49=36x+36$$

Her iki taraftan 36x sayısını çıkarın.

$$-5x^{2}+28x+49-36x=36$$

28x ve -36x terimlerini birleştirerek -8x sonucunu elde edin.

$$-5x^{2}-8x+49=36$$

Her iki taraftan 36 sayısını çıkarın.

$$-5x^{2}-8x+49-36=0$$

49 sayısından 36 sayısını çıkarıp 13 sonucunu bulun.

$$-5x^{2}-8x+13=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -5x^{2}+ax+bx+13 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-8 ab=-5\times 13=-65$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -65 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-65 5,-13$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-65=-64 5-13=-8$$

Çözüm, -8 toplamını veren çifttir.

$$a=5 b=-13$$

-5x^{2}-8x+13 ifadesini \left(-5x^{2}+5x\right)+\left(-13x+13\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-5x^{2}+5x\right)+\left(-13x+13\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve 13 5x çarpanlarına ayırın.

$$5x\left(-x+1\right)+13\left(-x+1\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak -x+1 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(-x+1\right)\left(5x+13\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için -x+1=0 ve 5x+13=0 çözün.

$$x=1 x=-\frac{13}{5}$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

\left(2x+7\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}+28x+49=9\left(x+2\right)^{2}$$

\left(x+2\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}+28x+49=9\left(x^{2}+4x+4\right)$$

9 sayısını x^{2}+4x+4 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$4x^{2}+28x+49=9x^{2}+36x+36$$

Her iki taraftan 9x^{2} sayısını çıkarın.

$$4x^{2}+28x+49-9x^{2}=36x+36$$

4x^{2} ve -9x^{2} terimlerini birleştirerek -5x^{2} sonucunu elde edin.

$$-5x^{2}+28x+49=36x+36$$

Her iki taraftan 36x sayısını çıkarın.

$$-5x^{2}+28x+49-36x=36$$

28x ve -36x terimlerini birleştirerek -8x sonucunu elde edin.

$$-5x^{2}-8x+49=36$$

Her iki taraftan 36 sayısını çıkarın.

$$-5x^{2}-8x+49-36=0$$

49 sayısından 36 sayısını çıkarıp 13 sonucunu bulun.

$$-5x^{2}-8x+13=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -5, b yerine -8 ve c yerine 13 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-5\right)\times 13}}{2\left(-5\right)}$$

-8 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-5\right)\times 13}}{2\left(-5\right)}$$

-4 ile -5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+20\times 13}}{2\left(-5\right)}$$

20 ile 13 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+260}}{2\left(-5\right)}$$

260 ile 64 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{324}}{2\left(-5\right)}$$

324 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±18}{2\left(-5\right)}$$

-8 sayısının tersi: 8.

$$x=\frac{8±18}{2\left(-5\right)}$$

2 ile -5 sayısını çarpın.

$$x=\frac{8±18}{-10}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{8±18}{-10} denklemini çözün. 18 ile 8 sayısını toplayın.

$$x=\frac{26}{-10}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{26}{-10} kesrini sadeleştirin.

$$x=-\frac{13}{5}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{8±18}{-10} denklemini çözün. 18 sayısını 8 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{10}{-10}$$

-10 sayısını -10 ile bölün.

$$x=1$$

Denklem çözüldü.

$$x=-\frac{13}{5} x=1$$

Kareyi Tamamlama Adımları

\left(2x+7\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}+28x+49=9\left(x+2\right)^{2}$$

\left(x+2\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$4x^{2}+28x+49=9\left(x^{2}+4x+4\right)$$

9 sayısını x^{2}+4x+4 ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$4x^{2}+28x+49=9x^{2}+36x+36$$

Her iki taraftan 9x^{2} sayısını çıkarın.

$$4x^{2}+28x+49-9x^{2}=36x+36$$

4x^{2} ve -9x^{2} terimlerini birleştirerek -5x^{2} sonucunu elde edin.

$$-5x^{2}+28x+49=36x+36$$

Her iki taraftan 36x sayısını çıkarın.

$$-5x^{2}+28x+49-36x=36$$

28x ve -36x terimlerini birleştirerek -8x sonucunu elde edin.

$$-5x^{2}-8x+49=36$$

Her iki taraftan 49 sayısını çıkarın.

$$-5x^{2}-8x=36-49$$

36 sayısından 49 sayısını çıkarıp -13 sonucunu bulun.

$$-5x^{2}-8x=-13$$

Her iki tarafı -5 ile bölün.

$$\frac{-5x^{2}-8x}{-5}=-\frac{13}{-5}$$

-5 ile bölme, -5 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-5}\right)x=-\frac{13}{-5}$$

-8 sayısını -5 ile bölün.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x=-\frac{13}{-5}$$

-13 sayısını -5 ile bölün.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x=\frac{13}{5}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{8}{5} sayısını 2 değerine bölerek \frac{4}{5} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{4}{5} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{13}{5}+\left(\frac{4}{5}\right)^{2}$$

\frac{4}{5} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{13}{5}+\frac{16}{25}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{13}{5} ile \frac{16}{25} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}=\frac{81}{25}$$

Faktör x^{2}+\frac{8}{5}x+\frac{16}{25}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}=\frac{81}{25}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{5}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{81}{25}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{4}{5}=\frac{9}{5} x+\frac{4}{5}=-\frac{9}{5}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{4}{5} çıkarın.

$$x=1 x=-\frac{13}{5}$$