(100)^2+(x+100)^2=(2x+100)^2 Denklemini Çözme

$$( 100 ) ^ { 2 } + ( x + 100 ) ^ { 2 } = ( 2 x + 100 ) ^ { 2 }$$

x için çözün

$$x = \frac{100}{3} = 33\frac{1}{3} \approx 33,333333333$$

$$x=-100$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

2 sayısının 100 kuvvetini hesaplayarak 10000 sonucunu bulun.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(x+100\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

10000 ve 10000 sayılarını toplayarak 20000 sonucunu bulun.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(2x+100\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Her iki taraftan 4x^{2} sayısını çıkarın.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

x^{2} ve -4x^{2} terimlerini birleştirerek -3x^{2} sonucunu elde edin.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Her iki taraftan 400x sayısını çıkarın.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

200x ve -400x terimlerini birleştirerek -200x sonucunu elde edin.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Her iki taraftan 10000 sayısını çıkarın.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

20000 sayısından 10000 sayısını çıkarıp 10000 sonucunu bulun.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

Standart biçime dönüştürmek için polinomu yeniden düzenleyin. Terimleri üslerine göre azalan düzende sıralayın.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın -3x^{2}+ax+bx+10000 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-200 ab=-3\times 10000=-30000$$

ab negatif olduğundan a ve b ters işaretlere sahip. a+b negatif olduğundan, negatif sayı sıfırdan büyük bir mutlak değer içeriyor. Çarpımı -30000 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$1,-30000 2,-15000 3,-10000 4,-7500 5,-6000 6,-5000 8,-3750 10,-3000 12,-2500 15,-2000 16,-1875 20,-1500 24,-1250 25,-1200 30,-1000 40,-750 48,-625 50,-600 60,-500 75,-400 80,-375 100,-300 120,-250 125,-240 150,-200$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$1-30000=-29999 2-15000=-14998 3-10000=-9997 4-7500=-7496 5-6000=-5995 6-5000=-4994 8-3750=-3742 10-3000=-2990 12-2500=-2488 15-2000=-1985 16-1875=-1859 20-1500=-1480 24-1250=-1226 25-1200=-1175 30-1000=-970 40-750=-710 48-625=-577 50-600=-550 60-500=-440 75-400=-325 80-375=-295 100-300=-200 120-250=-130 125-240=-115 150-200=-50$$

Çözüm, -200 toplamını veren çifttir.

$$a=100 b=-300$$

-3x^{2}-200x+10000 ifadesini \left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(-3x^{2}+100x\right)+\left(-300x+10000\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -100 -x çarpanlarına ayırın.

$$-x\left(3x-100\right)-100\left(3x-100\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak 3x-100 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(3x-100\right)\left(-x-100\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için 3x-100=0 ve -x-100=0 çözün.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

2 sayısının 100 kuvvetini hesaplayarak 10000 sonucunu bulun.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(x+100\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

10000 ve 10000 sayılarını toplayarak 20000 sonucunu bulun.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(2x+100\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Her iki taraftan 4x^{2} sayısını çıkarın.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

x^{2} ve -4x^{2} terimlerini birleştirerek -3x^{2} sonucunu elde edin.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Her iki taraftan 400x sayısını çıkarın.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

200x ve -400x terimlerini birleştirerek -200x sonucunu elde edin.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Her iki taraftan 10000 sayısını çıkarın.

$$20000-3x^{2}-200x-10000=0$$

20000 sayısından 10000 sayısını çıkarıp 10000 sonucunu bulun.

$$10000-3x^{2}-200x=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$-3x^{2}-200x+10000=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine -3, b yerine -200 ve c yerine 10000 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{\left(-200\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

-200 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000-4\left(-3\right)\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

-4 ile -3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+12\times 10000}}{2\left(-3\right)}$$

12 ile 10000 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{40000+120000}}{2\left(-3\right)}$$

120000 ile 40000 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±\sqrt{160000}}{2\left(-3\right)}$$

160000 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-200\right)±400}{2\left(-3\right)}$$

-200 sayısının tersi: 200.

$$x=\frac{200±400}{2\left(-3\right)}$$

2 ile -3 sayısını çarpın.

$$x=\frac{200±400}{-6}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{200±400}{-6} denklemini çözün. 400 ile 200 sayısını toplayın.

$$x=\frac{600}{-6}$$

600 sayısını -6 ile bölün.

$$x=-100$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{200±400}{-6} denklemini çözün. 400 sayısını 200 sayısından çıkarın.

$$x=-\frac{200}{-6}$$

2 terimini kökün dışına çıkarıp yok ederek \frac{-200}{-6} kesrini sadeleştirin.

$$x=\frac{100}{3}$$

Denklem çözüldü.

$$x=-100 x=\frac{100}{3}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

2 sayısının 100 kuvvetini hesaplayarak 10000 sonucunu bulun.

$$10000+\left(x+100\right)^{2}=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(x+100\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$10000+x^{2}+200x+10000=\left(2x+100\right)^{2}$$

10000 ve 10000 sayılarını toplayarak 20000 sonucunu bulun.

$$20000+x^{2}+200x=\left(2x+100\right)^{2}$$

\left(2x+100\right)^{2} ifadesini genişletmek için \left(a+b\right)^{2}=a^{2}+2ab+b^{2} binom teoremini kullanın.

$$20000+x^{2}+200x=4x^{2}+400x+10000$$

Her iki taraftan 4x^{2} sayısını çıkarın.

$$20000+x^{2}+200x-4x^{2}=400x+10000$$

x^{2} ve -4x^{2} terimlerini birleştirerek -3x^{2} sonucunu elde edin.

$$20000-3x^{2}+200x=400x+10000$$

Her iki taraftan 400x sayısını çıkarın.

$$20000-3x^{2}+200x-400x=10000$$

200x ve -400x terimlerini birleştirerek -200x sonucunu elde edin.

$$20000-3x^{2}-200x=10000$$

Her iki taraftan 20000 sayısını çıkarın.

$$-3x^{2}-200x=10000-20000$$

10000 sayısından 20000 sayısını çıkarıp -10000 sonucunu bulun.

$$-3x^{2}-200x=-10000$$

Her iki tarafı -3 ile bölün.

$$\frac{-3x^{2}-200x}{-3}=-\frac{10000}{-3}$$

-3 ile bölme, -3 ile çarpma işlemini geri alır.

$$x^{2}+\left(-\frac{200}{-3}\right)x=-\frac{10000}{-3}$$

-200 sayısını -3 ile bölün.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=-\frac{10000}{-3}$$

-10000 sayısını -3 ile bölün.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x=\frac{10000}{3}$$

x teriminin katsayısı olan \frac{200}{3} sayısını 2 değerine bölerek \frac{100}{3} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına \frac{100}{3} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{10000}{3}+\left(\frac{100}{3}\right)^{2}$$

\frac{100}{3} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{10000}{3}+\frac{10000}{9}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{10000}{3} ile \frac{10000}{9} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}=\frac{40000}{9}$$

Faktör x^{2}+\frac{200}{3}x+\frac{10000}{9}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}=\frac{40000}{9}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x+\frac{100}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{40000}{9}}$$

Sadeleştirin.

$$x+\frac{100}{3}=\frac{200}{3} x+\frac{100}{3}=-\frac{200}{3}$$

Denklemin her iki tarafından \frac{100}{3} çıkarın.

$$x=\frac{100}{3} x=-100$$