(31+24y/14)^2+y^2-8(31+24y/14)+14y=128 Denklemini Çözme

$$( \frac { 31 + 24 y } { 14 } ) ^ { 2 } + y ^ { 2 } - 8 ( \frac { 31 + 24 y } { 14 } ) + 14 y = 128$$

y için çözün

$$y=\frac{7\sqrt{3}}{2}-1\approx 5,062177826$$

$$y=-\frac{7\sqrt{3}}{2}-1\approx -7,062177826$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Denklemin her iki tarafını 14 ile çarpın.

$$14\left(\left(\frac{31+24y}{14}\right)^{2}+y^{2}-8\times \frac{31+24y}{14}\right)+196y=1792$$

\frac{31+24y}{14} ifadesini üslü yapmak için, hem payı hem de paydayı ilgili kuvvete yükseltin ve sonra bölün.

$$14\left(\frac{\left(31+24y\right)^{2}}{14^{2}}+y^{2}-8\times \frac{31+24y}{14}\right)+196y=1792$$

İfadeleri toplamak ve çıkarmak için bunları genişleterek paydalarını eşitleyin. y^{2} ile \frac{14^{2}}{14^{2}} sayısını çarpın.

$$14\left(\frac{\left(31+24y\right)^{2}}{14^{2}}+\frac{y^{2}\times 14^{2}}{14^{2}}-8\times \frac{31+24y}{14}\right)+196y=1792$$

\frac{\left(31+24y\right)^{2}}{14^{2}} ile \frac{y^{2}\times 14^{2}}{14^{2}} aynı paydaya sahip olduğundan paylarını toplayarak toplama işlemi yapabilirsiniz.

$$14\left(\frac{\left(31+24y\right)^{2}+y^{2}\times 14^{2}}{14^{2}}-8\times \frac{31+24y}{14}\right)+196y=1792$$

\left(31+24y\right)^{2}+y^{2}\times 14^{2} ifadesindeki çarpımları yapın.

$$14\left(\frac{961+1488y+576y^{2}+196y^{2}}{14^{2}}-8\times \frac{31+24y}{14}\right)+196y=1792$$

961+1488y+576y^{2}+196y^{2} ifadesindeki benzer terimleri toplayın.

$$14\left(\frac{961+1488y+772y^{2}}{14^{2}}-8\times \frac{31+24y}{14}\right)+196y=1792$$

8\times \frac{31+24y}{14} değerini tek bir kesir olarak ifade edin.

$$14\left(\frac{961+1488y+772y^{2}}{14^{2}}-\frac{8\left(31+24y\right)}{14}\right)+196y=1792$$

8 sayısını 31+24y ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$14\left(\frac{961+1488y+772y^{2}}{14^{2}}-\frac{248+192y}{14}\right)+196y=1792$$

İfadeleri toplamak ve çıkarmak için bunları genişleterek paydalarını eşitleyin. 14^{2} ve 14 sayılarının en küçük ortak katı 196 sayısıdır. \frac{248+192y}{14} ile \frac{14}{14} sayısını çarpın.

$$14\left(\frac{961+1488y+772y^{2}}{196}-\frac{14\left(248+192y\right)}{196}\right)+196y=1792$$

\frac{961+1488y+772y^{2}}{196} ile \frac{14\left(248+192y\right)}{196} aynı paydaya sahip olduğundan paylarını çıkararak çıkarma işlemi yapabilirsiniz.

$$14\times \frac{961+1488y+772y^{2}-14\left(248+192y\right)}{196}+196y=1792$$

961+1488y+772y^{2}-14\left(248+192y\right) ifadesindeki çarpımları yapın.

$$14\times \frac{961+1488y+772y^{2}-3472-2688y}{196}+196y=1792$$

961+1488y+772y^{2}-3472-2688y ifadesindeki benzer terimleri toplayın.

$$14\times \frac{-2511-1200y+772y^{2}}{196}+196y=1792$$

14 ve 196 sayılarını, bu sayıların en büyük ortak çarpanı olan 196 ile sadeleştirin.

$$\frac{-2511-1200y+772y^{2}}{14}+196y=1792$$

-2511-1200y+772y^{2} ifadesinin her terimini 14 ile bölerek -\frac{2511}{14}-\frac{600}{7}y+\frac{386}{7}y^{2} sonucunu bulun.

$$-\frac{2511}{14}-\frac{600}{7}y+\frac{386}{7}y^{2}+196y=1792$$

-\frac{600}{7}y ve 196y terimlerini birleştirerek \frac{772}{7}y sonucunu elde edin.

$$-\frac{2511}{14}+\frac{772}{7}y+\frac{386}{7}y^{2}=1792$$

Her iki taraftan 1792 sayısını çıkarın.

$$-\frac{2511}{14}+\frac{772}{7}y+\frac{386}{7}y^{2}-1792=0$$

-\frac{2511}{14} sayısından 1792 sayısını çıkarıp -\frac{27599}{14} sonucunu bulun.

$$-\frac{27599}{14}+\frac{772}{7}y+\frac{386}{7}y^{2}=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$\frac{386}{7}y^{2}+\frac{772}{7}y-\frac{27599}{14}=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine \frac{386}{7}, b yerine \frac{772}{7} ve c yerine -\frac{27599}{14} değerini koyarak çözün.

$$y=\frac{-\frac{772}{7}±\sqrt{\left(\frac{772}{7}\right)^{2}-4\times \frac{386}{7}\left(-\frac{27599}{14}\right)}}{2\times \frac{386}{7}}$$

\frac{772}{7} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$y=\frac{-\frac{772}{7}±\sqrt{\frac{595984}{49}-4\times \frac{386}{7}\left(-\frac{27599}{14}\right)}}{2\times \frac{386}{7}}$$

-4 ile \frac{386}{7} sayısını çarpın.

$$y=\frac{-\frac{772}{7}±\sqrt{\frac{595984}{49}-\frac{1544}{7}\left(-\frac{27599}{14}\right)}}{2\times \frac{386}{7}}$$

Payları paylarla ve paydaları paydalarla çarparak -\frac{1544}{7} ile -\frac{27599}{14} sayısını çarpın. Daha sonra kesri en küçük terime sadeleştirin.

$$y=\frac{-\frac{772}{7}±\sqrt{\frac{595984+21306428}{49}}}{2\times \frac{386}{7}}$$

Ortak paydayı bularak ve payları toplayarak \frac{595984}{49} ile \frac{21306428}{49} sayısını toplayın. Daha sonra mümkünse kesri en küçük terimlere sadeleştirin.

$$y=\frac{-\frac{772}{7}±\sqrt{446988}}{2\times \frac{386}{7}}$$

446988 sayısının karekökünü alın.

$$y=\frac{-\frac{772}{7}±386\sqrt{3}}{2\times \frac{386}{7}}$$

2 ile \frac{386}{7} sayısını çarpın.

$$y=\frac{-\frac{772}{7}±386\sqrt{3}}{\frac{772}{7}}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak y=\frac{-\frac{772}{7}±386\sqrt{3}}{\frac{772}{7}} denklemini çözün. 386\sqrt{3} ile -\frac{772}{7} sayısını toplayın.

$$y=\frac{386\sqrt{3}-\frac{772}{7}}{\frac{772}{7}}$$

-\frac{772}{7}+386\sqrt{3} sayısını \frac{772}{7} ile bölmek için -\frac{772}{7}+386\sqrt{3} sayısını \frac{772}{7} sayısının tersiyle çarpın.

$$y=\frac{7\sqrt{3}}{2}-1$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak y=\frac{-\frac{772}{7}±386\sqrt{3}}{\frac{772}{7}} denklemini çözün. 386\sqrt{3} sayısını -\frac{772}{7} sayısından çıkarın.

$$y=\frac{-386\sqrt{3}-\frac{772}{7}}{\frac{772}{7}}$$

-\frac{772}{7}-386\sqrt{3} sayısını \frac{772}{7} ile bölmek için -\frac{772}{7}-386\sqrt{3} sayısını \frac{772}{7} sayısının tersiyle çarpın.

$$y=-\frac{7\sqrt{3}}{2}-1$$

Denklem çözüldü.

$$y=\frac{7\sqrt{3}}{2}-1 y=-\frac{7\sqrt{3}}{2}-1$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Denklemin her iki tarafını 14 ile çarpın.

$$14\left(\left(\frac{31+24y}{14}\right)^{2}+y^{2}-8\times \frac{31+24y}{14}\right)+196y=1792$$

\frac{31+24y}{14} ifadesini üslü yapmak için, hem payı hem de paydayı ilgili kuvvete yükseltin ve sonra bölün.

$$14\left(\frac{\left(31+24y\right)^{2}}{14^{2}}+y^{2}-8\times \frac{31+24y}{14}\right)+196y=1792$$

İfadeleri toplamak ve çıkarmak için bunları genişleterek paydalarını eşitleyin. y^{2} ile \frac{14^{2}}{14^{2}} sayısını çarpın.

$$14\left(\frac{\left(31+24y\right)^{2}}{14^{2}}+\frac{y^{2}\times 14^{2}}{14^{2}}-8\times \frac{31+24y}{14}\right)+196y=1792$$

\frac{\left(31+24y\right)^{2}}{14^{2}} ile \frac{y^{2}\times 14^{2}}{14^{2}} aynı paydaya sahip olduğundan paylarını toplayarak toplama işlemi yapabilirsiniz.

$$14\left(\frac{\left(31+24y\right)^{2}+y^{2}\times 14^{2}}{14^{2}}-8\times \frac{31+24y}{14}\right)+196y=1792$$

\left(31+24y\right)^{2}+y^{2}\times 14^{2} ifadesindeki çarpımları yapın.

$$14\left(\frac{961+1488y+576y^{2}+196y^{2}}{14^{2}}-8\times \frac{31+24y}{14}\right)+196y=1792$$

961+1488y+576y^{2}+196y^{2} ifadesindeki benzer terimleri toplayın.

$$14\left(\frac{961+1488y+772y^{2}}{14^{2}}-8\times \frac{31+24y}{14}\right)+196y=1792$$

8\times \frac{31+24y}{14} değerini tek bir kesir olarak ifade edin.

$$14\left(\frac{961+1488y+772y^{2}}{14^{2}}-\frac{8\left(31+24y\right)}{14}\right)+196y=1792$$

8 sayısını 31+24y ile çarpmak için dağılma özelliğini kullanın.

$$14\left(\frac{961+1488y+772y^{2}}{14^{2}}-\frac{248+192y}{14}\right)+196y=1792$$

İfadeleri toplamak ve çıkarmak için bunları genişleterek paydalarını eşitleyin. 14^{2} ve 14 sayılarının en küçük ortak katı 196 sayısıdır. \frac{248+192y}{14} ile \frac{14}{14} sayısını çarpın.

$$14\left(\frac{961+1488y+772y^{2}}{196}-\frac{14\left(248+192y\right)}{196}\right)+196y=1792$$

\frac{961+1488y+772y^{2}}{196} ile \frac{14\left(248+192y\right)}{196} aynı paydaya sahip olduğundan paylarını çıkararak çıkarma işlemi yapabilirsiniz.

$$14\times \frac{961+1488y+772y^{2}-14\left(248+192y\right)}{196}+196y=1792$$

961+1488y+772y^{2}-14\left(248+192y\right) ifadesindeki çarpımları yapın.

$$14\times \frac{961+1488y+772y^{2}-3472-2688y}{196}+196y=1792$$

961+1488y+772y^{2}-3472-2688y ifadesindeki benzer terimleri toplayın.

$$14\times \frac{-2511-1200y+772y^{2}}{196}+196y=1792$$

14 ve 196 sayılarını, bu sayıların en büyük ortak çarpanı olan 196 ile sadeleştirin.

$$\frac{-2511-1200y+772y^{2}}{14}+196y=1792$$

-2511-1200y+772y^{2} ifadesinin her terimini 14 ile bölerek -\frac{2511}{14}-\frac{600}{7}y+\frac{386}{7}y^{2} sonucunu bulun.

$$-\frac{2511}{14}-\frac{600}{7}y+\frac{386}{7}y^{2}+196y=1792$$

-\frac{600}{7}y ve 196y terimlerini birleştirerek \frac{772}{7}y sonucunu elde edin.

$$-\frac{2511}{14}+\frac{772}{7}y+\frac{386}{7}y^{2}=1792$$

Her iki tarafa \frac{2511}{14} ekleyin.

$$\frac{772}{7}y+\frac{386}{7}y^{2}=1792+\frac{2511}{14}$$

1792 ve \frac{2511}{14} sayılarını toplayarak \frac{27599}{14} sonucunu bulun.

$$\frac{772}{7}y+\frac{386}{7}y^{2}=\frac{27599}{14}$$

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$\frac{386}{7}y^{2}+\frac{772}{7}y=\frac{27599}{14}$$

Denklemin her iki tarafını \frac{386}{7} ile bölün. Bu işlem her iki tarafı kesrin tersiyle çarpmayla aynı sonucu verir.

$$\frac{\frac{386}{7}y^{2}+\frac{772}{7}y}{\frac{386}{7}}=\frac{\frac{27599}{14}}{\frac{386}{7}}$$

\frac{386}{7} ile bölme, \frac{386}{7} ile çarpma işlemini geri alır.

$$y^{2}+\frac{\frac{772}{7}}{\frac{386}{7}}y=\frac{\frac{27599}{14}}{\frac{386}{7}}$$

\frac{772}{7} sayısını \frac{386}{7} ile bölmek için \frac{772}{7} sayısını \frac{386}{7} sayısının tersiyle çarpın.

$$y^{2}+2y=\frac{\frac{27599}{14}}{\frac{386}{7}}$$

\frac{27599}{14} sayısını \frac{386}{7} ile bölmek için \frac{27599}{14} sayısını \frac{386}{7} sayısının tersiyle çarpın.

$$y^{2}+2y=\frac{143}{4}$$

x teriminin katsayısı olan 2 sayısını 2 değerine bölerek 1 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına 1 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$y^{2}+2y+1^{2}=\frac{143}{4}+1^{2}$$

1 sayısının karesi.

$$y^{2}+2y+1=\frac{143}{4}+1$$

1 ile \frac{143}{4} sayısını toplayın.

$$y^{2}+2y+1=\frac{147}{4}$$

Faktör y^{2}+2y+1. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y+1\right)^{2}=\frac{147}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(y+1\right)^{2}}=\sqrt{\frac{147}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$y+1=\frac{7\sqrt{3}}{2} y+1=-\frac{7\sqrt{3}}{2}$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$y=\frac{7\sqrt{3}}{2}-1 y=-\frac{7\sqrt{3}}{2}-1$$