y^2-15y=-54 Denklemini Çözme

$${ y }^{ 2 } -15y=-54$$

y için çözün

$$y=6$$

$$y=9$$

Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafa 54 ekleyin.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Denklemi çözmek için y^{2}-15y+54 formül y^{2}+\left(a+b\right)y+ab=\left(y+a\right)\left(y+b\right) 'ni kullanarak faktörü yapın. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-15 ab=54$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 54 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Çözüm, -15 toplamını veren çifttir.

$$a=-9 b=-6$$

Alınan değerleri kullanarak \left(y+a\right)\left(y+b\right), bu ifadeyi yeniden yazın.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için y-9=0 ve y-6=0 çözün.

$$y=9 y=6$$

Gruplandırarak Çarpanlara Ayırma Kullanılan Adımlar

Her iki tarafa 54 ekleyin.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Denklemi çözmek için sol tarafı gruplandırarak çarpanlarına ayırın. Öncelikle sol tarafın y^{2}+ay+by+54 olarak yeniden yazılması gerekir. a ve b bulmak için, bir sistemi çözülebilecek şekilde ayarlayın.

$$a+b=-15 ab=1\times 54=54$$

ab pozitif olduğundan a ve b aynı işarete sahip. a+b negatif olduğundan a ve b her ikisi de negatiftir. Çarpımı 54 olan tam sayı çiftlerini listeleyin.

$$-1,-54 -2,-27 -3,-18 -6,-9$$

Her çiftin toplamını hesaplayın.

$$-1-54=-55 -2-27=-29 -3-18=-21 -6-9=-15$$

Çözüm, -15 toplamını veren çifttir.

$$a=-9 b=-6$$

y^{2}-15y+54 ifadesini \left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right) olarak yeniden yazın.

$$\left(y^{2}-9y\right)+\left(-6y+54\right)$$

İkinci gruptaki ilk ve -6 y çarpanlarına ayırın.

$$y\left(y-9\right)-6\left(y-9\right)$$

Dağılma özelliği kullanarak y-9 ortak terimi parantezine alın.

$$\left(y-9\right)\left(y-6\right)$$

Denklem çözümlerini bulmak için y-9=0 ve y-6=0 çözün.

$$y=9 y=6$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$y^{2}-15y=-54$$

Denklemin her iki tarafına 54 ekleyin.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=-54-\left(-54\right)$$

-54 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$y^{2}-15y-\left(-54\right)=0$$

-54 sayısını 0 sayısından çıkarın.

$$y^{2}-15y+54=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden denklem formülünde a yerine 1, b yerine -15 ve c yerine 54 değerini koyarak çözün.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\times 54}}{2}$$

-15 sayısının karesi.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\times 54}}{2}$$

-4 ile 54 sayısını çarpın.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-216}}{2}$$

-216 ile 225 sayısını toplayın.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{9}}{2}$$

9 sayısının karekökünü alın.

$$y=\frac{-\left(-15\right)±3}{2}$$

-15 sayısının tersi: 15.

$$y=\frac{15±3}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak y=\frac{15±3}{2} denklemini çözün. 3 ile 15 sayısını toplayın.

$$y=\frac{18}{2}$$

18 sayısını 2 ile bölün.

$$y=9$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak y=\frac{15±3}{2} denklemini çözün. 3 sayısını 15 sayısından çıkarın.

$$y=\frac{12}{2}$$

12 sayısını 2 ile bölün.

$$y=6$$

Denklem çözüldü.

$$y=9 y=6$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$y^{2}-15y=-54$$

x teriminin katsayısı olan -15 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{15}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{15}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$y^{2}-15y+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=-54+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

-\frac{15}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=-54+\frac{225}{4}$$

\frac{225}{4} ile -54 sayısını toplayın.

$$y^{2}-15y+\frac{225}{4}=\frac{9}{4}$$

Faktör y^{2}-15y+\frac{225}{4}. Genel olarak, x^{2}+bx+c bir kare olduğunda, her zaman kare olarak \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{9}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(y-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{9}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$y-\frac{15}{2}=\frac{3}{2} y-\frac{15}{2}=-\frac{3}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{15}{2} ekleyin.

$$y=9 y=6$$