x^2-x-1>0 Denklemini Çözme

$${ x }^{ 2 } -x-1 > 0$$

x için çöz

$$x\in \left(-\infty,\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{5}+1}{2},\infty\right)$$

İkinci Dereceden Denklem Formülü Kullanan Adımlar

Eşitsizliği çözmek için sol tarafı çarpanlarına ayırın. İkinci dereceden polinomsal ifadeler ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right) dönüşümü kullanılarak çarpanlarına ayrılabilir. Burada x_{1} ve x_{2} ikinci dereceden ax^{2}+bx+c=0 denkleminin çözümleridir.

$$x^{2}-x-1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, şu ikinci dereceden denklem formülü kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. İkinci dereceden denklem formülü içinde a için 1, b için -1 ve c için -1 kullanın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Hesaplamaları yapın.

$$x=\frac{1±\sqrt{5}}{2}$$

± artı ve ± eksi olduğunda x=\frac{1±\sqrt{5}}{2} denklemini çözün.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

Elde edilen çözümleri kullanarak eşitsizliği yeniden yazın.

$$\left(x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}\right)\left(x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)>0$$

Çarpımın pozitif olması için x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} ve x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} değerlerinin ikisinin de negatif veya pozitif olması gerekir. x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} ve x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} değerlerinin her ikisinin de negatif olduğu durumu düşünün.

$$x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}<0 x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}<0$$

Her iki eşitsizliği de karşılayan çözüm: x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

x-\frac{\sqrt{5}+1}{2} ve x-\frac{1-\sqrt{5}}{2} değerlerinin her ikisinin de pozitif olduğu durumu düşünün.

$$x-\frac{1-\sqrt{5}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{5}+1}{2}>0$$

Her iki eşitsizliği de karşılayan çözüm: x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

Son çözüm, elde edilen çözümlerin birleşimidir.

$$x<\frac{1-\sqrt{5}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$