x^2-x+1=0 Denklemini Çözme

$${ x }^{ 2 } -x+1 = 0$$

x için çözün (complex solution)

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}\approx 0,5+0,866025404i$$

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}\approx 0,5-0,866025404i$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x^{2}-x+1=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 1, b yerine -1 ve c yerine 1 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4}}{2}$$

-4 ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-3}}{2}$$

-3 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{3}i}{2}$$

-1 sayısının tersi: 1.

$$x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2} denklemini çözün. i\sqrt{3} ile 1 sayısını toplayın.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2}$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{1±\sqrt{3}i}{2} denklemini çözün. i\sqrt{3} sayısını 1 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Denklem çözüldü.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$x^{2}-x+1=0$$

Denklemin her iki tarafından 1 çıkarın.

$$x^{2}-x+1-1=-1$$

1 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$x^{2}-x=-1$$

x teriminin katsayısı olan -1 sayısını 2 değerine bölerek -\frac{1}{2} sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -\frac{1}{2} sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

-\frac{1}{2} kesrinin karesini almak için hem payın hem de paydanın karesini alın.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-1+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4} ile -1 sayısını toplayın.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{3}{4}$$

x^{2}-x+\frac{1}{4} ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{3}{4}$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{3}{4}}$$

Sadeleştirin.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{3}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{3}i}{2}$$

Denklemin her iki tarafına \frac{1}{2} ekleyin.

$$x=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} x=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$