x^2-6x+11=0 Denklemini Çözme

$${ x }^{ 2 } -6x+11 = 0$$

x için çözün (complex solution)

$$x=3+\sqrt{2}i\approx 3+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i+3\approx 3-1,414213562i$$

Karesel Formülü Kullanan Adımlar

ax^{2}+bx+c=0 biçimindeki tüm denklemler, karesel formül kullanılarak çözülebilir: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Karesel formül, biri ± toplama diğeri de çıkarma olduğunda size iki çözüm sunar.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Bu denklem standart biçimdedir: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} ikinci dereceden formülünde a yerine 1, b yerine -6 ve c yerine 11 değerini koyarak çözün.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 11}}{2}$$

-6 sayısının karesi.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\times 11}}{2}$$

-4 ile 11 sayısını çarpın.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-44}}{2}$$

-44 ile 36 sayısını toplayın.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{-8}}{2}$$

-8 sayısının karekökünü alın.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±2\sqrt{2}i}{2}$$

-6 sayısının tersi: 6.

$$x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2}$$

Şimdi, ± değerinin pozitif olduğunu varsayarak x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} denklemini çözün. 2i\sqrt{2} ile 6 sayısını toplayın.

$$x=\frac{6+2\sqrt{2}i}{2}$$

6+2i\sqrt{2} sayısını 2 ile bölün.

$$x=3+\sqrt{2}i$$

Şimdi, ± değerinin negatif olduğunu varsayarak x=\frac{6±2\sqrt{2}i}{2} denklemini çözün. 2i\sqrt{2} sayısını 6 sayısından çıkarın.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i+6}{2}$$

6-2i\sqrt{2} sayısını 2 ile bölün.

$$x=-\sqrt{2}i+3$$

Denklem çözüldü.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$

Kareyi Tamamlama Adımları

Buna benzer karesel denklemler, kareyi tamamlayarak çözülebilir. Kareyi tamamlamak için denklemin x^{2}+bx=c biçiminde olması gerekir.

$$x^{2}-6x+11=0$$

Denklemin her iki tarafından 11 çıkarın.

$$x^{2}-6x+11-11=-11$$

11 kendisinden çıkarıldığında 0 kalır.

$$x^{2}-6x=-11$$

x teriminin katsayısı olan -6 sayısını 2 değerine bölerek -3 sonucunu elde edin. Sonra, denklemin her iki tarafına -3 sayısının karesini ekleyin. Bu adım, denklemin sol tarafının tam kare olmasını sağlar.

$$x^{2}-6x+\left(-3\right)^{2}=-11+\left(-3\right)^{2}$$

-3 sayısının karesi.

$$x^{2}-6x+9=-11+9$$

9 ile -11 sayısını toplayın.

$$x^{2}-6x+9=-2$$

x^{2}-6x+9 ifadesini çarpanlarına ayırın. Genellikle x^{2}+bx+c tam kare olduğunda her zaman \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} şeklinde çarpanlara ayrılabilir.

$$\left(x-3\right)^{2}=-2$$

Denklemin her iki tarafının kare kökünü alın.

$$\sqrt{\left(x-3\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Sadeleştirin.

$$x-3=\sqrt{2}i x-3=-\sqrt{2}i$$

Denklemin her iki tarafına 3 ekleyin.

$$x=3+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i+3$$